[Abstract nonsense] Prodotto...
Inviato: 24/11/2019, 23:58
Tanto vale introdurre qualche frammento di linguaggio categoriale in più. Un diagramma è un qualcosa che consta di posizioni e frecce.1 Ovviamente le posizioni vanno riempite col nome di oggetti (che possono essere insiemi, spazi vettoriali, gruppi, spazi topologici, ...) e le frecce stanno a rappresentare morfismi (che a seconda dei casi possono essere funzioni, applicazioni lineari, omomorfismi, omeomorfismi, ...). Ci interessano i triangoli che commutano o commutativi: si tratta di diagrammi a tre posizioni e sei frecce
in cui \(h=gf=g \circ f\) (ometterò il simbolo \(\circ\) tanto è chiaro, no?). Ho detto sei frecce, perché ci sarebbero anche le tre identità su ciascun oggetto che non si disegnano, ma ci sono. (Ovviamente la lunghezza delle frecce è ininfluente, è XY-pic ad usare una matrice per rappresentare i diagrammi.)
"Classicamente" il prodotto (cartesiano) di due insiemi \(A\) e \(B\) è l'insieme indicato con \(A \times B\) consistente di coppie ordinate \((x,y)\), dove \(x \in A\) e \(y \in B\). Nella teoria degli insiemi, un insieme è totalmente determinato dagli oggetti di cui consta. Sì... è un bell'insieme, ma potrebbe essere interessante guardarci intorno. Passeggiamo tra gli insiemi e le funioni e vediamo se succede qualcosa. Il prodotto cartesiano di due insiemi \(A \times B\) si relaziona così con gli altri insiemi: \(A \times B\) è accompagnato da due funzioni
\begin{align*}
&\pi_A \colon A \times B \to A,\quad (x,y) \to x \\
&\pi_B \colon A \times B \to B,\quad (x,y) \to y
\end{align*} e per ogni insieme \(C\) e due funzioni \(f : C \to A\) e \(g : C \to B\) esiste un'unica funzione \(h : C \to A \times B\) per cui
commuta, cioè i due triangoli lì dentro commutano. (Ma che sono 'ste manie di unicità che hanno certe frecce? )
Esercizio 1. Provare che il prodotto cartesiano definito nella teoria degli insiemi, soddisfa questa proprietà.
Esercizio 2. \(A \times B\) è l'unico ad avere questa proprietà?
Esercizio 3. Dimostrare che \[(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)\,.\] In campo strettamente insiemistico non è \((A \times B) \times C = A \times (B \times C)\), ma qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi quale diffenza sostanziale c'è tra le coppie \(((x,y),z)\) e \((x,(y,z))\)? (Ci sono due modi di risolvere questo esercizio: uno rende tutto ciò molto stupido, l'altro è quello che voglio che voi seguiate .)
Esercizio 4. Tanto per dare un altro sguardo al limite: che proprietà può avere il prodotto tra insiemi \(\displaystyle\prod_{i \in I} X_i\)? (Sicuramente intuirete cosa voglio...)
Esercizio 5. (Tanto perché poco fa avevo Algebra Lineare sotto mano, ma si possono fare altri esempi) Dato un spazio vettoriale, la somma diretta di due suoi sottospazi è un prodotto di quei due sottospazi nel senso appena visto (con le "frecce"). Ovviamente non siamo più tra gli insiemi e le funzioni, ma tra spazi vettoriali e applicazioni lineari. Se non vi piace \(\mathbf{Vect}_k\), potete provare altrove...
in cui \(h=gf=g \circ f\) (ometterò il simbolo \(\circ\) tanto è chiaro, no?). Ho detto sei frecce, perché ci sarebbero anche le tre identità su ciascun oggetto che non si disegnano, ma ci sono. (Ovviamente la lunghezza delle frecce è ininfluente, è XY-pic ad usare una matrice per rappresentare i diagrammi.)
"Classicamente" il prodotto (cartesiano) di due insiemi \(A\) e \(B\) è l'insieme indicato con \(A \times B\) consistente di coppie ordinate \((x,y)\), dove \(x \in A\) e \(y \in B\). Nella teoria degli insiemi, un insieme è totalmente determinato dagli oggetti di cui consta. Sì... è un bell'insieme, ma potrebbe essere interessante guardarci intorno. Passeggiamo tra gli insiemi e le funioni e vediamo se succede qualcosa. Il prodotto cartesiano di due insiemi \(A \times B\) si relaziona così con gli altri insiemi: \(A \times B\) è accompagnato da due funzioni
\begin{align*}
&\pi_A \colon A \times B \to A,\quad (x,y) \to x \\
&\pi_B \colon A \times B \to B,\quad (x,y) \to y
\end{align*} e per ogni insieme \(C\) e due funzioni \(f : C \to A\) e \(g : C \to B\) esiste un'unica funzione \(h : C \to A \times B\) per cui
commuta, cioè i due triangoli lì dentro commutano. (Ma che sono 'ste manie di unicità che hanno certe frecce? )
Esercizio 1. Provare che il prodotto cartesiano definito nella teoria degli insiemi, soddisfa questa proprietà.
Esercizio 2. \(A \times B\) è l'unico ad avere questa proprietà?
Esercizio 3. Dimostrare che \[(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)\,.\] In campo strettamente insiemistico non è \((A \times B) \times C = A \times (B \times C)\), ma qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi quale diffenza sostanziale c'è tra le coppie \(((x,y),z)\) e \((x,(y,z))\)? (Ci sono due modi di risolvere questo esercizio: uno rende tutto ciò molto stupido, l'altro è quello che voglio che voi seguiate .)
Esercizio 4. Tanto per dare un altro sguardo al limite: che proprietà può avere il prodotto tra insiemi \(\displaystyle\prod_{i \in I} X_i\)? (Sicuramente intuirete cosa voglio...)
Esercizio 5. (Tanto perché poco fa avevo Algebra Lineare sotto mano, ma si possono fare altri esempi) Dato un spazio vettoriale, la somma diretta di due suoi sottospazi è un prodotto di quei due sottospazi nel senso appena visto (con le "frecce"). Ovviamente non siamo più tra gli insiemi e le funzioni, ma tra spazi vettoriali e applicazioni lineari. Se non vi piace \(\mathbf{Vect}_k\), potete provare altrove...
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PS. A proposito: si dice "còmmuta" o "commùta"? Non avendolo mai detto in italiano e pensando in inglese su queste cose, non me lo sono mai chiesto.
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