Gruppo di Galois di un polinomio biquadratico, in caratteristica 2

[solaàl]

Un esercizio abbastanza classico di teoria di Galois cerca il gruppo di Galois del polinomio
\[
p(X) = X^4 + aX^2+b
\] Da quel che ho visto, solitamente si suppone che il polinomio sia a coefficienti in un campo di caratteristica diversa da 2 (quindi 0 o un primo dispari). Come si fa il conto in caratteristica 2? In generale, il discriminante è sempre zero, quindi questo polinomio non è separabile. Questo come cambia il conto che bisogna fare? Ancora in generale, uno può andare per casi sui valori di $a,b$ (vengono 3 casi, di cui uno veramente banale).

Avete delle reference per studiare questa cosa in dettaglio?

[Stickelberger]

Forse dovresti prima dirci come definisci il gruppo
di Galois di un polinomio non separabile.

[solaàl]

E' il gruppo degli automorfismi del campo grande che fissano il campo piccolo, no? L'aggiunzione di Galois tra campi intermedi e sottogruppi del Gal c'è sempre...

[Stickelberger]

Nel capitolo 5 dell’Algebra di Bourbaki c’e’ una discussione
della inseparabilita’ e le relazioni con i gruppi di Galois.

Nel tuo caso, $a,b$ stanno in un campo $F$ di caratteristica $2$. Sia
$L$ un campo di spezzamento di $f(x)=x^4+ax^2 +b$. Allora
il gruppo $G$ degli automorfismi di $L$ che fissano $F$, ha cardinalita’ $2$
se $a!=0$ e $x^2+ax+b$ e’ irriducibile in $F[x]$ ed e’ banale se no.

Per vedere questo, notiamo che $L$ contiene sia $\alpha=\sqrt{a}$ che $\beta=sqrt{b}$.
Ogni automorfismo in $G$ deve fissare $\alpha$ e $\beta$. Sia $F’$ il sottocampo
$F(\alpha,\beta)$ di $L$. Abbiamo che $f(x)=g(x)^2$ dove $g(x)$ e' il
polinomio $x^2+\alpha x +\beta$ in $F’[x]$.

Il campo $L$ e' quindi un campo di spezzamento di $g(x)$ su $F’$
e $G$ e' il gruppo degli automorfismi di $L$ che fissano $F'$.
Ma per il polinomio $g(x)$ di grado $2$ tutto e' facile:
il gruppo $G$ ha cardinalita’ $2$ se $g(x)$ e’ separabile e
irriducibile in $F’[x]$ ed e’ banale se no. Ora, $g(x)$
e’ separabile se e solo se $\alpha!=0$ se e solo se $a!=0$.
Per quanto riguarda la irriducibilita’, e’ facile vedere che $g(x)$ ha
uno zero in $F’$ se e solo se $x^2+ax+b$ ha uno zero in $F$.
E ci siamo.