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Buonasera,

dovrei provare che l'applicazione $f:NN-{1} to NN$ definita come ad ogni $n in NN-{1}$ associa il numero dei divisori primi di $n$, che sia suriettiva e non iniettiva.

Si tratta di una funzione moltiplicativa cioè se $a,b$ interi positivi coprimi allora $phi(ab)=phi(a)phi(b)$ ??

E cosa c'entra l'ultima domanda col titolo del thread?

Per favore, come già detto altrove, sii più specifico.

Scusami è una domanda rivolta all'esercizio, cioè la funzione dell'esercizio è una funzione moltiplicativa ?

Ok.

L'esercizio è molto semplice. Dove ti areni?

Potrei dimostrarlo con $f^(-1)({y}) ne emptyset $ per la suriettività invece se prendo due $y_1 ne y_2 in NN-{1}$ coprimi verifico che hanno lo stesso numero di divisori.
Ad esempio prendo $y_1=35$ e $y_2=8$ hanno $4$ divisori, rispettivamente $1,5,7,35$ e $1,2,4,8$.
Quindi $f^(-1)({35}) ne emptyset ne f^(-1)({8})$. Può bastare ?

Prima di svolgerlo, ti ricordo che nel testo dell'esercizio si parla di divisori primi. Per dimostrare la suriettività, devi considerare un generico $ninN$ e verificare che esiste in $NN-{1}$ un elemento che abbia $n$ divisori primi. Poichè l'insieme dei numeri primi è infinito(teorema di Euclide) si possono individuare $n$ primi distinti $p_1,...,p_n$ in $NN$ e risulta $f(p_1...p_n)=n$. E' facile verificare poi che la funzione $f$ non è iniettiva, mediante un semplice controesempio: presi i numeri distinti $2$ e $3$, si ha $f(2)=f(3)=1$.

Ti ringrazio per la risposta... ma sul testo il teorema di Euclide viene dopo le funzioni, ti chiedo, è possibile dimostrare quanto richiesto dall'esercizio in un'altra maniera ?

Pasquale 90 ha scritto:… ma sul testo il teorema di Euclide viene dopo le funzioni, ti chiedo, è possibile dimostrare quanto richiesto dall'esercizio in un'altra maniera?

Poi prova anche a fare delle flessioni con entrambe le mani legate dietro la schiena.

Se mostri che $f$ è suriettiva puoi dedurre in modo immediato che i primi sono infiniti (pensaci). Quindi il teorema di Euclide non lo puoi evitare.

A meno che per "numero di divisori primi" tu non intenda con molteplicità. Cioè $f(4)$ per te è uguale a 1 o a 2?