esercizio su relazione di equivalenza

[JGiuls]

L'esercizio d'esame mi dava:

$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),(1,7),(7,1),(4,7),(7,4)\}$

e mi chiedeva di dimostrare che $R$ è una relazione di equivalenza su $[7]$ e di calcolare $[7] \/R$.
Non sono riuscita a trovare nessun esempio simile e non so da dove iniziare.
Grazie per l'aiuto.

[gugo82]

Beh, questo è un esercizio che si fa anche alle superiori.

Conosci la definizione di relazione di equivalenza? Che proprietà sono richieste?
Come puoi verificare che $R$ goda di tali proprietà?
Hai provato a rappresentare $R$? Come?

[mario9555]

Con il simbolo $[7]$ credo che tu intenda l'insieme di tutti gli elementi di $I_7={1,2,...,7}$ che sono nella corrispondenza $R$ con $7$. In tal caso, $[7]={1,4,7}$, per cui devi verificare che la relazione $R'$ indotta da $R$ su $[7]$ (che ha grafico $R'=[7]^2 nn R$), è una relazione di equivalenza. Quindi:

$R'={(1,1),(4,4),(7,7),(1,4),(4,1),(1,7),(7,1),(4,7),(7,4)}$

Chiaramente $R'$ è una relazione di equivalenza, e $([7])/(R')={[1]_R'}={[7]}$.

[gugo82]

@ mario9555: Credo che s'intenda $[7] := \{1,2,3,4,5,6,7\}$.

[JGiuls]

Io so che una relazioni di equivalenza è tale se gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva ma non so come verificarlo.

[gugo82]

Hai provato a rappresentare $R$? Come?

[JGiuls]

Non capisco cosa intendi per rappresentazione, io ho scritto gli elementi dell’insieme [7] e li ho messi in relazione così come indicato dalla relazione di equivalenza ( es. 1 con 1,4,7; 2 con 2,3; 5 con 5; ecc..) in questo modo ho constatato che valevano tutte e tre le proprietà ma non sono sicura si possano verificare in questo modo.
Poi ho letto su internet che l’insieme quoziente è dato dalle classi di equivalenza messe in relazione così come indicato dalla relazione di equivalenza quindi [7]/R={[1]=[4]=[7] , [2]=[3], [5], [6]}.
Sinceramente non so se il ragionamento è corretto.

[ghira]

Io so che una relazioni di equivalenza è tale se gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva ma non so come verificarlo.

In questo caso, brutalmente a mano.

C'è $(1,1)$? Sì. $(2,2)$? Sì. Ecc.

Basta usare la definizione e verificare a mano che ci siano tutti i requisiti.

[gugo82]

Non capisco cosa intendi per rappresentazione […]

Eh… Fai un disegno, fai una tabella, fai un grafico.

A volte mi chiedo come sia possibile che voi ragazzi che vivete in un universo fatto di immagini (social, tv, cinema, fumetti, etc…) poi non riusciate ad usare delle immagini per farvi un’idea di una situazione… Bah.

Ad esempio:

• grafo orientato:
  
  
  
  
• diagramma cartesiano:
  
  
  
  
• tabella:
  
  
  
  
• rappresentazione sagittale coi diagrammi di Eulero & Venn (che non riporto perché il disegno viene troppo confuso.

Queste sono tutte tecniche che si vedono in primo superiore.

io ho scritto gli elementi dell’insieme [7] e li ho messi in relazione così come indicato dalla relazione di equivalenza ( es. 1 con 1,4,7; 2 con 2,3; 5 con 5; ecc..) in questo modo ho constatato che valevano tutte e tre le proprietà ma non sono sicura si possano verificare in questo modo.
Poi ho letto su internet che l’insieme quoziente è dato dalle classi di equivalenza messe in relazione così come indicato dalla relazione di equivalenza quindi [7]/R={[1]=[4]=[7] , [2]=[3], [5], [6]}.
Sinceramente non so se il ragionamento è corretto.

Da tutte e tre le rappresentazioni proposte, si evince immediatamente che la relazione è simmetrica e riflessiva: infatti, è riflessiva perché ogni elemento è in relazione con se stesso (presenza degli archi “a cappio” nel grafo, presenza di tutti i punti sulla diagonale del diagramma, o di tutta la diagonale annerita in tabella) ed è simmetrica perché le paia di elementi in relazione sono in relazione in entrambi gli ordini possibili (presenza di coppie di frecce opposte nel grafo, simmetria rispetto alla bisettrice del diagramma, simmetria rispetto alla diagonale nella tabella).
L’unica proprietà che serve esplorare veramente è quella transitiva. In questo caso, il grafo torna più utile delle altre rappresentazioni, poiché una relazione è transitiva quando ogni coppia di archi consecutivi $x -> y -> z$ è “chiusa” dal terzo arco $x -> z$.
Il fatto che $R$ sia transitiva si vede ispezionando direttamente il grafo.

[JGiuls]

Mi è chiara la dimostrazione della relazione di equivalenza, ma per quanto riguarda la parte di [7]/R è corretto il ragionamento che ho fatto?