Capire se ho svolto bene un esercizio sugli anelli

[s.capone7]

Ciao ragazzi ho sempre dubbi sugli esercizi che svolgo in quanto su questo argomento la mia prof non mi ha dato esercizi guida, l'esercizio è il seguente: (riporto solo i punti che mi interessano)

Sono assegnate sull'insieme $A = Z_6 xx Z_3$ le leggi di composizione interne $+$, $xx$ definite come segue: $AA (x, y), (z, t) in A$
$(x, y) + (z, t) = (x +z, y + t), (x, y) xx (z,t) = (xz, yt)$
e sia $B = {(O, y) : y in Z_3}$.

(a) Determinare l'elemento neutro della struttura (A, +);
(b) determinare l'elemento neutro della struttura (A,· )
(c) provare che (A, +) è un gruppo abeliano.
(d) provare che (A,· ) è un monoide commutativo.
(e) verificare che (A, +,.) è un anello commutativo.
(f) determinare l'unità di (A, . ).
(g) verificare che B è un sottogruppo di (A, + ).


a) Per dimostrare questo punto ho semplicemente impostato il sistema, ho scritto:
Cerchiamo $(z,t)in Z_6xxZ_3$ tale che $AA (a,b)in Z_6xxZ_3, (a+z, b+t)=(a, b)$.
Dunque ho esplicitato e messo a sistema $a+z=a$ e $b+t=b$ e dunque concludo che la coppia $(0,0) in Z_6xZ_3$ è l'elemento neutro di (A,+). (ovviamente facendo la verifica per un generico (a,b)+(0,0).

b) come il punto precedente solo con la moltiplicazione e concludo nella stessa maniera dicendo che (1,1) è elemento neutro della struttura.

c) Qui ho dei dubbi.. Per svolgere questo punto ho scritto le tabelle additive di $Z_6$ e $Z_3$ e ho commentato dicendo che dalle tabelle di $+$ è possibile notare come l'operazione + sia associativa e commutativa, che è possibile notare che 0 è elemento neutro in entrambe e che ogni numero ha rispettivo simmetrico. Concludo dicendo che dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due gruppi abeliani rispetto all'addizione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un gruppo abeliano.

d) Stessa cosa del punto precedente, ho scritto le tabelle moltiplicative di $Z_6$ e $Z_3$ e ho evidenziato come sia $Z_6$ e $Z_3$ siano due strutture associative rispetto alla moltiplicazione e che esiste elemento neutro la coppia (1, 1) e concludo alla stessa maniera del punto precedente. Ovvero, dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due monoidi commutativi rispetto alla moltiplicazione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un monoide commutativo.

Basta questo? O avrei potuto semplicemente mostrare come ho fatto nei punti a e b , ovvero, semplicemente dimostrando le varie proprietà con dei valori generici senza scrivere le tabelle di Z6 e Z3? Avevo pensato di fare la tabella delle coppie Z3 x Z6 ma sarebbe stata troppo lunga.

e) Qui commento scrivendo che abbiamo già provato in precedenza che $(A, +)$ è un gruppo abeliano e che $(A, xx)$ è una struttura associativa e dunque rimane da verificare la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Ma dato che $(A, xx)$ è commutativa dunque anche questa proprietà è verificata. Dunque $(A, +, xx)$ è un anello commutativo.

f) la coppia ( 1, 1 ) è l'unità di $(A, xx)$;

g) Qui ho dimostrato le tre proprietà del Teorema dei sottogruppi ovvero SG1, SG2, SG3,
SG1) B diverso dall'insieme vuoto e questo è ovvio.
SG2) Ho fatto le addizioni delle coppie:

(0,0)+(0,0)=(0,0)
(0,0)+(0,1)=(0,1)
(0,0)+(0,2)=(0,2)

(0,1)+(0,0)=(0,1)
(0,1)+(0,1)=(0,2)
(0,1)+(0,2)=(0,0)

(0,2)+(0,0)=(0,2)
(0,2)+(0,1)=(0,0)
(0,2)+(0,2)=(0,1)

SG3) Ho calcolato il simmetrico delle varie coppie:
-(0,0)=(0,0)
-(0,1)=(0,2)
-(0,2)=(0,1)

Tutte le coppie ottenute appartengono a B. Quindi è un sottogruppo di $(A, +)$


Vorrei capire se è corretto il mio svolgimento o se andava fatto diversamente. Grazie in anticipo.

[solaàl]

Tutto sommato va bene. Solo, non c'è nessun motivo di scrivere le tavole delle operazioni di somma e prodotto; è sufficiente verificare le varie condizioni per elementi generici. Altrimenti, io ti domando: come dimostri la stessa cosa per due anelli che sono insiemi infiniti? E tu sei fregat*

[s.capone7]

Tutto sommato va bene. Solo, non c'è nessun motivo di scrivere le tavole delle operazioni di somma e prodotto; è sufficiente verificare le varie condizioni per elementi generici. Altrimenti, io ti domando: come dimostri la stessa cosa per due anelli che sono insiemi infiniti? E tu sei fregat*

Grazie! ho fatto le tabelle perchè l'esercizio mi chiedeva anche di trovare i vari divisori dello zero e elementi unitari e faceva comodo avere le tabelle a portata di mano