Azione transitiva di sottogruppo

[3m0o]

Sia \( G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \). Sia \( H \) un sottoguppo di \(G\). Dimostra che \( H \) agisce transitivamente su \( X \) se e solo se \( G \) agisce transitivamente su \( X \) e \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), e \( G_x \) è il gruppo di isotropia di \( x \) sotto l'azione di \( G \).

Il mio dubbio sta nel fatto che mi dice \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), intende per un unico \( x \in X \) fissato oppure per ogni \( x \in X \)?
Se è per ogni \( x \in X \):
Se \( G \) agisce transitivamente e \( G= H G_x \) allora \( \forall x,y \in X \) abbiamo che esiste \( g \in G \) tale che \(g \cdot x = y \)
ora abbiamo \( g=h g_x \) per qualche \( h \in H\) e \( g_x \in G_x \). Pertanto abbiamo che
\( g \cdot x = (h g_x) \cdot x = h \cdot (g_x \cdot x) = h \cdot x = y \)
e pertanto abbiamo che \( H \) agisce transitivamente su \( X \)
Se è per un unico \( x \in X \) fissato allora:
Non saprei come fare.

Sempre sotto l'ipotesi che è per ogni \( x \in X \):
Supponiamo che \( H \) agisca transitivamente su \( X \) allora abbiamo che \( \forall x,y \in X \) risulta che esiste \( h \in H \) tale che \( h \cdot x = y \).
Pertanto considerando l'orbita di \( x \) su \(H\) abbiamo che \( \mathcal{O}_x := \{ y \in X | \exists h \in H : h \cdot x = y \} =X\)
Supponiamo che \( \mathcal{O}_x := \{ y \in X | \exists g \in G : g \cdot x = y \} \subseteq X\)
Siccome abbiamo che \( H \subset G \) risulta chiaro \( \mathcal{O}_x := \{ y \in X | \exists g \in G : g \cdot x = y \}= X\)
e dunque \( G \) agisce transitivamente.
Quest'ultima parte qui sotto non sono sicuro minimamente
Inoltre scelto \( g \in G \) tale per cui \( g \cdot x = y \) abbiamo che dati \( g_x \in G_x \) e scelto \( h \in H \) tale per cui \( h \cdot x = y \) allora
\( g \cdot x = h \cdot x \) inoltre poiché \( g_x \) è elemento del gruppo di isotropia di \( x \) abbiamo che
\( gg_x \cdot x = h \cdot x \) pertanto abbiamo che \( gg_x = h \) da cui segue che \( g=h g_x^{-1} \) e siccome \( g_x \) stabilizza \( x \) abbiamo che \( g_x^{-1} \) stabilizza \( x \).

[solaàl]

Sì, direi che si fa così. Non serviva riscrivere la definizione di orbita basta dire che siccome c'è un \(h\in H\) che manda x in y, a maggior ragione ce n'è uno in \(G\).

[3m0o]

Quest'ultima parte qui sotto non sono sicuro minimamente
Inoltre scelto \( g \in G \) tale per cui \( g \cdot x = y \) abbiamo che dati \( g_x \in G_x \) e scelto \( h \in H \) tale per cui \( h \cdot x = y \) allora
\( g \cdot x = h \cdot x \) inoltre poiché \( g_x \) è elemento del gruppo di isotropia di \( x \) abbiamo che
\( gg_x \cdot x = h \cdot x \) pertanto abbiamo che \( gg_x = h \) da cui segue che \( g=h g_x^{-1} \) e siccome \( g_x \) stabilizza \( x \) abbiamo che \( g_x^{-1} \) stabilizza \( x \).

Qui non sono sicuro perché siamo sicuri che \( gg_x \cdot x = h \cdot x \) implica \( gg_x = h \)?
Ad esempio se prendo l'azione triviale è falso (anche se l'azione triviale non è transitiva quindi non va bene come controesempio).

[solaàl]

Infatti non è vero in generale, tutto quello che sai è che se $gx=hx$ allora $h^{-1}gx=x$, e allora $h^{-1}g=g_x$ per qualche elemento $g_x\in G_x$; ma allora $g=hg_x$, fine.