Gruppi risolubili

[3m0o]

Sia \( G \) un gruppo, \( H < G \) un sottogruppo, e \( N < G \) un sottogruppo normale tale che \( H ,N \) sono risolubili. Dimostra che \(HN \) è risolubile.

Abbiamo che se \( f: G \to G' \) è un omomorfimso suriettivo e \( G \) risolubile allora anche \( G' \) è risolubile, tant'è che se \( G \) risolubile allora esistono \( G=G_0 > \ldots > G_n = \{e\} \) tale per cui \( G_{i+1} \) è normale in \( G_i \) e \( G_i \setminus G_{i+1} \) è abeliano.
Abbiamo che \( G' = f(G_0) > f(G_1) >\ldots >f(G_n)= \{ e \} \) poiché \( f \) un omomeomorfismo e dunque \( f(G_{i+1}) \) è sottogruppo di \( f(G_{i}) \).
Inoltre è normale poiché per ogni \( g \in H_i \) abbiamo che \( f(g) f(H_{i+1}) f^{-1}(g) = f(gH_{i+1}g^{-1}) = f(H_{i+1}) \)
inoltre abbiamo che \( f(H_i) \setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano in quanto abbiamo che definita \( \phi : H_i \setminus H_{i+1} \to f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è un omomorfismo e dunque siccome \( H_i \setminus H_{i+1} \) è abeliano e \( \phi \) è suriettivo abbiamo che \( f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano.

Concludiamo che \( G' \) è risolubile.
Pertanto definiamo l'omomorfismo suriettivo
\( \varphi : H \to H \setminus ( H \cap N ) \)
abbiamo che \( \varphi \) è un omomorfismo suriettivo, inoltre \( H \) è risolubile pertanto \( H \setminus ( H \cap N ) \) è risolubile. Inoltre abbiamo per il secondo teorema d'isomorfismo che \( H \setminus ( H \cap N ) \cong HN \setminus N \)
Dunque \( HN \setminus N \) è risolubile, inoltre \( N \) è normale ed è risolubile allora abbiamo che \( HN \) è risolubile.

va bene secondo voi?

[solaàl]

Dovresti scriverlo meglio:

Sia \( G \) un gruppo, \( H < G \) un sottogruppo, e \( N < G \) un sottogruppo normale tale che \( H ,N \) sono risolubili. Dimostra che \(HN \) è risolubile.

Abbiamo che se \( f: G \to G' \) è un omomorfimso suriettivo e \( G \) risolubile allora anche \( G' \) è risolubile, tant'è che se \( G \) risolubile allora esistono \( G=G_0 > \ldots > G_n = \{e\} \) tale per cui \( G_{i+1} \) è normale in \( G_i \) e \( G_i \setminus G_{i+1} \) è abeliano.

Cos'è questo, un lemma, un'osservazione?

Inoltre è normale

...nel precedente; non in tutto il gruppo.

poiché per ogni \( g \in H_i \) abbiamo che \( f(g) f(H_{i+1}) f^{-1}(g) = f(gH_{i+1}g^{-1}) = f(H_{i+1}) \)

Perché i \(G_i\) sono diventati \(H_i\)?

inoltre abbiamo che \( f(H_i) \setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano in quanto abbiamo che definita \( \phi : H_i \setminus H_{i+1} \to f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è un omomorfismo e dunque siccome \( H_i \setminus H_{i+1} \) è abeliano e \( \phi \) è suriettivo

perché è suriettivo?

abbiamo che \( f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano.

Per il resto, mi sembra che per concludere tu abbia usato due volte il fatto che \(G\) è risolubile se e solo se in \(H\hookrightarrow G \to G/H\) lo sono gli estremi; allora \(HN\) è risolubile, perché lo è sia $N$ che il quoziente \(HN/N\cong H/(H\cap N)\), e quest'ultimo lo è perché lo è \(H\).

[3m0o]

Abbiamo che se \( f: G \to G' \) è un omomorfimso suriettivo e \( G \) risolubile allora anche \( G' \) è risolubile

Lemma e lo dimostro sotto.

tant'è che se \( G \) risolubile allora esistono \( G=G_0 > \ldots > G_n = \{e\} \) tale per cui \( G_{i+1} \) è normale in \( G_i \) e \( G_i \setminus G_{i+1} \) è abeliano.

Definizione di \(G \) risolubile.

nel precedente; non in tutto il gruppo.

Si svista.

Perché i \(G_i\) sono diventati \(H_i\)?

Perché sul mio foglio l'ho scritto con gli \(H_i \) e ho iniziato il post con \(G_i \) poi guardando il mio foglio ho fatto confusione probabilmente

inoltre abbiamo che \( f(H_i) \setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano in quanto abbiamo che definita \( \phi : H_i \setminus H_{i+1} \to f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è un omomorfismo e dunque siccome \( H_i \setminus H_{i+1} \) è abeliano e \( \phi \) è suriettivo

perché è suriettivo?

Perché \(f \) suriettiva e quindi chiaramente se \( f(x)f(H_{i+1} ) \in f(H_i) / f(H_{i+1}) \) allora
esiste \( xH_{i+1} \in H_i / H_{i+1} \) tale che \( \phi ( xH_{i+1} ) = f(x)f(H_{i+1} ) \).

abbiamo che \( f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano.

Se \( \phi \) suriettivo allora il fatto che \(H_i / H_{i+1} \) è abeliano implica che \( f(H_i)\setminus f(H_{i+1}) \) è abeliano.

Per il resto, mi sembra che per concludere tu abbia usato due volte il fatto che \(G\) è risolubile se e solo se in \(H\hookrightarrow G \to G/H\) lo sono gli estremi; allora \(HN\) è risolubile, perché lo è sia $N$ che il quoziente \(HN/N\cong H/(H\cap N)\), e quest'ultimo lo è perché lo è \(H\).

Ho usato il fatto che \( H \) è risolubile e che \( \varphi : H \to H / (H \cap N) \) è un omomorfismo suriettivo per dire che \( H / (H \cap N) \) è risolubile.
Poi ho usato il teorema d'isomorfismo per dire che \( HN / N \) è risolubile.
Poi ho usato un teorema (di cui non so il nome ma lo abbiamo dimostrato a corso) il cui enunciato è:
Sia \( G \) un gruppo e \( N \) un sottogruppo normale in \(G \) allora \( G \) risolubile se e solo se \( N \) e \( G/N \) sono risolubili.
Ora siccome sempre per il teorema di isomorfismo abbiamo che \( N \) è normale in \(HN \) e che \( N \) è risolubile e \(HN / N \) è risolubile segue che \( HN \) è risolubile.