Proprietà delle potenze

[ProPatria]

Ciao. L'esercizio che mi crea problemi è questo:
Sia $ g in G $, con G gruppo. Dimostra che $ o(g)=o(g^(-1)) $.
L'esercizio mi risulta semplice se non fosse per un passaggio su cui sono incerto:
$ (g^n)^(-1)=g^(-n)=(g^(-1))^n $
È lecito fare ciò?
In altre parole,
$ (g^n)^(m)=g^(n*m) $ con $ g in G $ in un gruppo G qualsiasi?

[gugo82]

Beh, dimostralo.

[ProPatria]

Beh, dimostralo.

Procedo per induzione su m:
Con $ m=1 $ ho $ (g^n)^(1)=g^(n*1) $ ovviamente.
Assumo $ (g^n)^(m)=g^(n*m) $ vera, dunque $ (g^n)^(m)*(g^n)=g^(n*m)*(g^n) $, per la proprietà $ (g^n)*(g^m)=g^(n+m) $ ho che $ (g^n)^(m+1)=g^(n*(m+1) $, ciò dimostra la tesi.
La proprietà $ (g^n)*(g^m)=g^(n+m) $ posso dimostrarla anch'essa per induzione su m o n. È corretto?

[gugo82]

Pare di sì.