Ciao a tutti! Sto trovando difficoltà nel capire la soluzione di questo problema di algebra 1. Ho scritto i miei dubbi nello svolgimento. Grazie mille a chi mi aiuterà.
Siano dati i gruppi $Inv(Z/12)$, $Inv(Z/16)$. Determinare se questi gruppi sono ciclici.
Il gruppo $Inv(Z/12)$ ha ordine $4$, quindi i suoi elementi possono avere ordine $1$,$ 2$ o $4$. Gli
elementi di $Inv(Z/12)$ sono del tipo $[a]_12$ con a coprimo con $12$, cioè $[1]_12$, $[5]_12$, $[7]_12$ e $[11]_12$: di questi il primo ha ordine $1 $, mentre tutti gli altri hanno ordine $2$, quindi il gruppo non è ciclico.
Come si ottiene l’ordine di queste classi di resto?? Per essere ciclico cosa sarebbe dovuto accadere? Almeno una delle classi di resto avrebbe dovuto avere ordine $4$ ?
Il gruppo $Inv(Z/16)$ ha ordine $8$, quindi i suoi elementi possono avere ordine $1$, $2$, $4$ o $8$. Dobbiamo stabilire se c’è almeno un elemento di ordine $8$: per far ciò basta trovare un elemento $[a]_16$ (con a coprimo con 16) tale che $[a]^4_16$ $!=$ $[1]_16$ .
Perché facciamo questo ragionamento e no uno simile a quello sopra? E perché usiamo $4$ anziché $8$ se questo è l’ordine di $Inv(Z/16)$ ?
Notiamo inoltre che $[-a]^4_16$ $=$ $[a]^4_16$ .
Pertanto $[15]^4_16$ $=$ $[1]^4_16$ $=$ $[1]_16$ , $[13]^4_16$ $=$ $[3]^4_16$ $=$ $[81]_16$ $=$ $[1]_16$, $[11]^4_16$ $=$ $[5]^4_16$ $=$ $([5]^2_16)^2$ $=$ $[9]^2_16$ $=$ $[1]_16$.
Possiamo fermarci qui:
abbiamo trovato $6$ elementi che non hanno periodo $8$: se $Inv(Z/16)$ fosse ciclico, dovrebbe avere
$\varphi(8)$ $=$ $4$ elementi di periodo $8$. Perché proprio $6$ elementi mi bastano? Che ragionamento ha fatto?
Dunque $Inv(Z/16)$ non è ciclico.
Infine scusate la banalità ma in questi esercizi che differenza c'è tra $periodo$ e $ORDINE$ ? Non ho davvero capito