spiegazione esercizio su gruppo ciclico

[Aletzunny]

Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

[3m0o]

Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

Si giusto, ma com'è definito l'ordine di un gruppo?
Se sai la definizione sai anche dirmi qual'è l'ordine di \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)

[Aletzunny]

Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

Si giusto, ma com'è definito l'ordine di un gruppo?
Se sai la definizione sai anche dirmi qual'è l'ordine di \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)

Allora l'ordine di un gruppo è il numero di elementi che esso contiene quindi direi che l'ordine di $ZZ/(8ZZ)$ è $8$

Però, perdonami, non sto ancora capendo il perché di $[a]^4_16 != [1]_16$ usando $4$ e il perché di cercare proprio $6$ elementi che non hanno periodo $8$

[Aletzunny]

Ho appena riletto tutta la teoria ma non ho davvero compreso il motivo di un ragionamento così...

[3m0o]

Quanti elementi di ordine \(1 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(2 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(4 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(8 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?

Quanti elementi di ordine \(4 \) hai nel tuo gruppo di ordine \( 8 \) ?
Alla luce di quanto detto qui sopra può essere ciclico?

[Aletzunny]

Si hanno $2$ elementi di ordine $4$ nel gruppo di ordine $8$...

Ma perché mi interessano gli elementi di ordine $4$ se l'ordine del gruppo è $8$?

E non sto capendo...per essere ciclico dovrei trovare almeno un elemento di ordine $8$ o sbaglio?
Grazie

[3m0o]

Si hanno $2$ elementi di ordine $4$ nel gruppo di ordine $8$...

Ma perché mi interessano gli elementi di ordine $4$ se l'ordine del gruppo è $8$?

E non sto capendo...per essere ciclico dovrei trovare almeno un elemento di ordine $8$ o sbaglio?
Grazie

In \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) hai 2 elementi di ordine \(4\), oppure in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) hai 4 elementi di ordine \( 8 \).

Il tuo gruppo invece ha 6 elementi di ordine \(4 \) già questo ti basterebbe per concludere che non è ciclico poiché se per assurdo il tuo gruppo \(G \) fosse ciclico ed è di ordine \(8\) allora esiste un isomorfismo \(\phi : G \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \).
In realtà ti bastano \(3 \) elementi di ordine 4 del tuo gruppo \(G \) prendi ad esempio
\( [15]_{16} \), \( [13]_{16} \), \( [3]_{16} \), sono di ordine \(4 \) ma ora considera \( \phi([15]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), \( \phi([13]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \),\( \phi([3]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) sono immagine tramite un isomorfismo allora significa che
\( \phi([15]_{16}) ,\phi([13]_{16}) ,\phi([3]_{16}) \) sono di ordine \(4 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) poiché \( \phi \) è un isomorfismo e quindi preserva l'ordine degli elementi.
Ma in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) ci sono solo due elementi di ordine \(4\). Assurdo!

Il ragionamento della soluzione è analogo al mio qui sopra ma ragiona con l'ordine \(8\).
Supponaimo che \(G \) è ciclico, allora esiste almeno un elemento di ordine \(8\), abbiamo mostrato che ci sono \(6\) elementi di ordine \(4\) e l'elemento neutro ha ordine \(1\), quindi mi rimane un unico elemento dentro \(G \) e questo ha ordine 8 ed è l'unico ad avere ordine \(8\) (l'ordine del gurppo è 8 e abbiamo 7 elementi che hanno ordine diverso da 8), però se è ciclico è isomorfo a \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), quindi \( G \) dovrebbe contenere \(4 \) elementi di ordine \( 8 \), ma ne ha uno solo. Assurdo!

[Aletzunny]

Capito! Grazie mille per le tue risposte precise e la gentilezza

[3m0o]

Detto ciò lo reputo un modo contorto per dire che il tuo gruppo non è ciclico anche perché potevi tranquillamente controllare che gli 8 elementi non fossero di ordine 8 semplicemente.

[Aletzunny]

Ciò che ho fatto in un esercizio successivo quando mi è capitato $Inv(Z/30)$ che avendo sempre ordine $8$ mi ha permesso di metterci direttamente le "mani"