Antimmagine e immagine di una funzione.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho la seguente funzione

$f:x in NN \ to \ -(x-1) in ZZ$

devo determinare $f(NN)$ e $f^(-1)(ZZ).$

Ricordo:
Definizione di immagine di un insieme
considero $g:S to T$ sia $X subseteq S,$
Si definisce immagine di $X$ mediante $g$ il sottoinsieme

$g(X)={y in T \:\ EE x in S \:\ y=g(x)}$

di $T.$

Definizione di immagine inversa di un insieme
Considero $g:S to T$ sia $Y subseteq T,$
Si definisce immagine inversa di $Y$ mediante $g$ il sottoinsieme

$g^(-1)(Y)={x in S \:\ g(x) in Y}$

di $S.$

Si ha:
$f(N)={y in ZZ \:\ EE x in NN \:\ y=-(x-1) in ZZ }={y in ZZ \:\ EE x in NN \:\ y=1-x in ZZ }$ osservando che:

$x in N \to x ge 1$ allora $1-x le 0 <=> y le 0 $

sia $ZZ^0_ \ :={z in ZZ \ :\ z le 0},$ ottengo che $f(N)={y in ZZ \ : \ y le 0}=ZZ^0_$.

$f^(-1)(ZZ)={x in NN \ :\ f(x) in ZZ}={x in NN \ : \ y=-(x-1) in ZZ }={x in NN \ : \ y=1-x in ZZ }$ allora

$y=1-x <=> x=1-y$

osservando che $x in NN \ to \ x ge 1 $ allora $1-y ge 1 <=> y le 0 $, per cui

\(\displaystyle f^{-1}(\mathbb{Z})=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{se }y > 0 \\ \mathbb{N}, & \mbox{se }y \le 0 \end{cases} \)

essendo che $y $ è un elemento arbitrario di $ZZ$ concludo che $f^(-1)(ZZ) = emptyset$

quanto scritto, è formalmente corretto ?

Grazie per il cortese aiuto.

[gugo82]

No.

Come fa $f^(-1)(ZZ)$ ad essere vuoto?

[Pasquale 90]

riprendo quà

$ f:x in NN \ to \ -(x-1) in ZZ $

$ f^(-1)(ZZ)={x in NN \ :\ f(x) in ZZ}={x in NN \ : \ y=-(x-1) in ZZ }={x in NN \ : \ y=1-x in ZZ } $ allora

$ y=1-x <=> x=1-y $

osservando che $ x in NN \ to \ x ge 1 $ allora $ 1-y ge 1 <=> y le 0 $, per cui

\( \displaystyle f^{-1}(\mathbb{Z})=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{se }y > 0 \\ \mathbb{N}, & \mbox{se }y \le 0 \end{cases} \)

forse

\(\displaystyle f^{-1}(\mathbb{Z})= f^{-1}((\mathbb{Z^{0}_{-}})\cup(\mathbb{Z^{+}}))=f^{-1}(\mathbb{Z^{0}_{-}})\cup f^{-1}(\mathbb{Z^{+}})=\mathbb{N} \cup \emptyset=\mathbb{N}\)

?