Buongiorno,
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x<y <=> EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo.
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva
quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x<z$.
Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?
Ciao.