Relazione d'ordine.

[G.D.]

Sì ma ciò che hai scritto è esattamente ciò che devi dimostrare.

[Pasquale 90]

Sì ma ciò che hai scritto è esattamente ciò che devi dimostrare.

Si G.D di fatto quello ho dimostrato inoltre la transitività si dimostra prendendo

$x,y,z in NN$ tali che $y=x+n$ e $z=y+m$ con $n,m in NN $,

per sostituzione si ha $z=x+n+m=x+(n+m)$, essendo che $n,m in NN$ allora anche $n+m in NN$.
Il punto che so riconoscere "almeno credo" la differenza tra $<$ e $le$, ma non sono sicuro di cosa intende il libro per tali simboli, tutto qui.
Ti volevo chiedere, so che se prendo due naturali $n,m$ la loro somma appartiene ad $NN$, questo perchè $NN$ è chiuso rispetto alla somma, quindi $NN$ è un magma\gruppoide ?


Ciao

[gugo82]

Beh:

$x<y <=> EE n in NN :\ y=x+n$

$x <= y <=> EE n in NN_0:\ y=x+n$

in cui, se ho capito l'uso che fa il testo, $NN_0 := NN uu \{ 0\}$.

Entrambe $<$ e $<=$ sono transitive, ma una sola delle due relazioni è riflessiva e antisimmetrica, mentre l'altra è antiriflessiva e asimmetrica… Quale?

[Pasquale 90]

Ciao gugo82,
Per non confederici do' le definizioni che sono riportate sul libro: $S ne emptyset$ sia $R$ una relazione binaria in $S$ si ha che
$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
$R$ è asimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$

$<$ è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva,
$le$ è riflessiva, asimmetrica e transitiva.

Quindi, nell'esercizio per $<$ si intende che è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.

[mario9555]

< è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva,

Strano che venga data questa definizione... L'antiriflessività e la transitività implicano l'antisimmetria. Quindi, per dire che una relazione è d'ordine stretto, basta dire che è antiriflessiva e transitiva.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia S un insieme non vuoto, e sia $R$ una relazione binaria in S. Se $R$ è antiriflessiva e transitiva, allora è antisimmetrica.

Dim. Se per assurdo esiste una coppia $(x,y)$ di elementi di $S$ tali che $xRy,yRx$, allora per la transitività di $R$ si ha $xRx$, contro il fatto che $R$ è antiriflessiva.

[gugo82]

$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)

Ma sei proprio sicuro-sicuro?

Rileggi ciò che scrivi: non può farti altro che bene.


@ G.D.: Ciao WiZ!

[Pasquale 90]

$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)

Ma sei proprio sicuro-sicuro?

Certo gugo82, confermo e sottoscrivo
Penso che il problema che sta creando confusione sta nel fatto che stiamo dando definzioni dello stesso concetto, ma attribuendogli due nomi diversi.

Io sto studiando da due libri:
1) Lezioni di algebra di Mercede Maj-Mario Curzio-Patrizia Longobardi "libro consigliato dalla mia professoressa Mercede" inoltre la definizione di antisimmetria lo presa da quì, pag 26.
2) Elementi di algebra di De Giovanni- Franciosi.

Invece tu gugo82, che libro segui ?

Ciao.

[gugo82]

Ma rileggi quello che hai scritto prima di darmi nome, cognome ed indirizzo degli autori!

[Pasquale 90]

Ma rileggi quello che hai scritto prima di darmi nome, cognome ed indirizzo degli autori!

Ho risposto alla domanda che mi è stata posta, anzi sono andato a controllare se quello che avessi scritto in precedenza fosse corretto per non dare una risposta insensata, essendo quì un forum e non una chat.

In particolare, voglio far notare che anche in rete si trovano diverse definizioni di relazione antisimmetrica rispetto alla mia, ad esempio qui : https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_simmetrica

[Martino]

$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)

Questa non può essere la definizione di relazione antisimmetrica. Stai dicendo che deve accadere la cosa seguente.

"Se $x$ è in relazione con $y$ allora $x$ non è in relazione con $y$"

Che è semplicemente una proposizione falsa per ogni scelta di $x,y$.