Matematicamente.it

Buongiorno,
Ho il seguente esercizio:

In $NN_0$ si ponga $x<y <=> EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo.

Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.

Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva

quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x<z$.

Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?

Ciao.

Qualche aiutino ?

Ti sei accorto che stai dimostrando cose false?
Tipo che $x<x$...

Di quali proprietà gode un ordine stretto?

Riflessività: ma se parti già dall'assunzione che \(\displaystyle x\leq x\), perché scrivi \(\displaystyle y\)?

Asimmetria: parti bene con le definizioni, ma da lì devi proseguire, e non che parti dalla fine e procedi a ritroso... basta una banale sostituzione.

Transitività: idem al caso precedente!

Buongiorno,

gugo82,
Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:


Nelle condizioni di cui sopra, dicesi pure che $R$ è un ordinamento di $S$ o una relazione d'ordine in $S$
Il punto che mi confende è questo: riscrivo parola per parola quello che sta scritto sul mio libro !

Un ordinamento $R$ di $S$ è anche una relazione antisimmetrica, infatti se fosse $xRy$ e $yRx$ allora dalla transitività $xRx$ assurdo.

Osservazione : Sia $(S,R)$ un insieme ordinato e, con $x. y in S$, si ponga Ne segue che $R'$ è una relazione binaria in $S$ che sia riflessiva, asimmetrica e transitiva.

Sia viceversa $R$ una relazione binaria in $S$ riflessiva, asimmetrica e transitiva e, con $x,y in S$ si ponga Allora $R'$ è un ordinamento di $S.$
Quanto visto mostra che la nozione di ordinamento equivale a quella di relazione binaria in riflessiva, asimmetrica e transitiva

Ora mi vuole dire semplicemente indicare la sostanziale differenza che c'è tra una relazione d'ordine e una relazione d'ordine stretto ?
Ma il problema è di quell'equivale che mi confonde!!

j18eos ha scritto:Riflessività: ma se parti già dall'assunzione che \( \displaystyle x\leq x \), perché scrivi \( \displaystyle y \)?

si mi sono confuso, quindi
$x<x <=> EE n in NN \ : \ x=x+n \ to n = x-x = 0 notin NN $

j18eos ha scritto:Asimmetria: parti bene con le definizioni, ma da lì devi proseguire, e non che parti dalla fine e procedi a ritroso... basta una banale sostituzione.

dovrebbe essere questa, tipo $x=x+n+m <=> m+n=0 $ essendo che $m,n in NN $ come fa ad essere vera ?

Comunque tutto questo sta scritto a pag. 39 in Lezioni di algebra di Mario Curzio-Mercede Maj-Patrizia Longobardi.

Ciao

Quindi, il succo dell'osservazione è:
di far notare il forte legame che c'è tra una relazione d'ordine e d'ordine stretto, cioè:

Se considero un insieme $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine $R$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine stretto $P$.
Viceversa, sia sempre $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine stretto $P$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine $R$.

Pasquale 90 ha scritto:Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:

$x R x $ per ogni $x in S $

Questa è la proprietà riflessiva, non antiriflessiva…

Per quanto riguarda l’osservazione, ti si vuole far notare che da una relazione d’ordine $<$ come è definita nel testo (che, invece, usualmente si chiama relazione d’ordine stretto) si può ricavare una relazione d’ordine largo $<=$ (che, invece, usualmente si chiama relazione d’ordine), e viceversa.
Questo deriva dal fatto che, per scelta, gli autori decidono di chiamare relazione d’ordine qualcosa che usualmente non si chiama così, sicché si preoccupano di “tranquillizzare” il lettore dicendo che va bene ugualmente.

gugo82 ha scritto:

Pasquale 90 ha scritto:Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:

$x R x $ per ogni $x in S $

Questa è la proprietà riflessiva, non antiriflessiva…

Si gugo82, ho sbagliato a scrivere, a tal proposito come devo fare per far "comparire" la sbaretta sulla $R$ ?

Invece dalla osservazione,

gugo82 ha scritto: Questo deriva dal fatto che, per scelta, gli autori decidono di chiamare relazione d’ordine qualcosa che usualmente non si chiama così, sicché si preoccupano di “tranquillizzare” il lettore dicendo che va bene ugualmente.

Come faccio a provare che la relazione $<$ in $NN_0$ definita

Ma non bisognerebbe provare che \( < \) è antiriflessiva?

P.S.
\(\require{cancel} \cancel{R} \): il comando è \cancel{testo} e per caricarlo devi dare \require{cancel} all'inizio della formula.

Si G.D. in effetti $<$ è antiriflessiva si ha:

\(\displaystyle x \require{cancel} \cancel{R} x, \forall x \in \) $NN_0$ allora $x ne x+n $ per ogni $n in NN.$

Grazie per l'aiuto.