Gruppo di Galois

Messaggioda francicko » 13/01/2020, 09:17

Il polinomio di terzo grado $x^3-1$ ha una radice reale $x_1=1$ e due complesse coniugate, nel gruppo degli automorfismi la radice reale appartiene al campo fisso $Q$ quindi negli automorfismi non può essere scambiata in alcun modo con una delle radici complesse, che invece sono interscambiali tra di loro, pertanto il gruppo di Galois è $S_2$, giusto?
Nel caso invece del polinomio $x^3-2$ abbiamo sempre una radice reale $r_1=root(3)(2)$ quindi non appartenente al campo fisso $Q$ e può benissimo negli automorfismi essere scambiata con una delle due complesse, e pertanto il suo gruppo di Galois risulta essere $S_3$;
Giusto?
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."

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Re: Gruppo di Galois

Messaggioda Martino » 13/01/2020, 12:49

Sì quello che dici è corretto ma andrebbe dimostrato in modo più formale.
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Re: Gruppo di Galois

Messaggioda francicko » 13/02/2020, 12:45

Il campo di spezzamento del è dato da $Q(root(3)(2),omega)$, dove $omega$ è una radice terza dell'unità, giusto?
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Re: Gruppo di Galois

Messaggioda Martino » 13/02/2020, 13:49

Giusto
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