Gruppo di Galois

Il polinomio di terzo grado $x^3-1$ ha una radice reale $x_1=1$ e due complesse coniugate, nel gruppo degli automorfismi la radice reale appartiene al campo fisso $Q$ quindi negli automorfismi non può essere scambiata in alcun modo con una delle radici complesse, che invece sono interscambiali tra di loro, pertanto il gruppo di Galois è $S_2$, giusto?
Nel caso invece del polinomio $x^3-2$ abbiamo sempre una radice reale $r_1=root(3)(2)$ quindi non appartenente al campo fisso $Q$ e può benissimo negli automorfismi essere scambiata con una delle due complesse, e pertanto il suo gruppo di Galois risulta essere $S_3$;
Giusto?

Sì quello che dici è corretto ma andrebbe dimostrato in modo più formale.

Il campo di spezzamento del è dato da $Q(root(3)(2),omega)$, dove $omega$ è una radice terza dell'unità, giusto?

Giusto