Sia $f: A ->B$ una funzione.
Dimostrare che $[f text{ iniettiva}] <=> [f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A]$.
\(\displaystyle ( \Rightarrow ) \)
Abbiamo per ipotesi che $f$ è iniettiva, e dobbiamo dimostrare che $f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A$. Dimostreremo due cose: che $f(S nn T) sube f(S) nn f(T)$ (1) e poi che $f(S) nn f(T) sube f(S nn T)$ (2).
1)Sia $y in f( S nn T)$.
Vogliamo dimostrare che $y in f(S) nn f(T)$.
Abbiamo che $EE x in S nn T$ tale che $f(x)=y$. Poiché $x in S nn T$, ...
2) Sia $z in f(S) nn f(T)$.
Vogliamo dimostrare che $z in f(S nn T)$, ovvero che esiste $h in S nn T$ tale che $f(h)=z$.
Abbiamo ${(z in f(S)),(z in f(T)):}=> {(EE s in S : f(s)=z),(EE t in T : f(t)=z):}=>$...
\(\displaystyle ( \Leftarrow ) \)
Abbiamo per ipotesi che $f(S nn T) = f(S) nn f(T) \ \ \ AA S,T sube A$, e dobbiamo dimostrare che $f$ è iniettiva.
Siano $a,b in A$ tali che $f(a)=f(b)$. Se dimostriamo che $a=b$, abbiamo finito.
Supponiamo per assurdo che $a!=b$, e prendiamo $S:={a}$ e $T:={b}$....