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mario9555 ha scritto:... sia che $x>y$.

Nel quale caso allora sarebbe $ y < x $, da cui $ y \le x $ e quindi $x$ e $y$ sono confrontabili.
Inoltre i quantificatori sono stati usati male.

G.D. ha scritto:Nel quale caso allora sarebbe y<x, da cui y≤x e quindi x e y sono confrontabili.

Forse sono stato poco chiaro... Intendevo dire che è plausibile sia l'una che l'altra eventualià, ma ovviamente, solo una di queste può presentarsi per poter scartare x come possibile minimo.

G.D. ha scritto:Inoltre i quantificatori sono stati usati male.

Perché? Ricordo che stiamo esprimendo che S è privo di minimo.

mario9555 ha scritto:Perché? Ricordo che stiamo esprimendo che S è privo di minimo.

OK. Errore mio. Credo di aver frainteso perché il tuo intervento inizia con

mario9555 ha scritto:Poichè l'ordine non è totale

sicché ho preso fischi per fiaschi e ho capito che si stava parlando di come esprimere in simboli il fatto che l'ordinamento non fosse totale. Chiedo scusa.

Ciao

Provo che $ le $ è un ordine in $NN$ ma non totale

$le$ è riflessiva se e soltanto se, per ogni $x in NN$ tali che $x le x$, cioè


$le$ è asimmetrica se e soltanto se per ogni $x,y in NN$ tali che $x le y$ e $yle x$ si ha $x=y$, cioè


ovviamente se $m=1=n$ è banale invece nel caso in cui $n,m ge 2$ si ha:
$y=x\*\x^(m-1)=y^n\*\x^(m-1)$ quindi $y-y^n\*\x^(m-1)=y(1-y^(n-1)x^(m-1))=0$ dalla legge dell' annullamento del prodotto si ha $y=0 \or\ 1-y^(n-1)x^(m-1)=0$
Allora $y=0 notin NN$ quindi va scartata, allora $y^(n-1)\*\x^(m-1)-1=0 <=> y=x=1$ per ogni $n,m ge 2$ in particolare $x=y$.

$le$ è transitiva presi $x,y, x in NN$ tali che $x le y$ e $y le z$ si ha $x le z$, facciamo vedere che $x le z$ ossia facciomo vedere che esiste un $p in NN$ tale che $z=x^p$.
Essendo che


allora $z=y^m=y^(m-1)\y=y^(m-2)y\y=y\y\y\y\\y....\y=x^n\x^n\x^n\x^n\v^n\....\x^n=x^(n*m)=x^p$
dove $p in NN$ quindi si ha la transitività per $p=m*n in NN$

Inoltre presi due elementi ad esempio $2,3 in NN$ si ha che $2 ne 3^n $ per ogni $n in NN$ e sia $3 ne 2^n$ per ogni $n in NN$ per tale non sussiste la relazione d'ordine totale.

Invece per il minimo e il massimo, essendo che $le$ non è una relazione d'ordine totale allora le definizioni del $"min"$ e del $"max"$ non sussistono, quindi non esiste ne il minimo e ne il massimo in $(NN,le).$

Gli elementi minimali di $NN$ sono gli elementi $x in NN$ tali che \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{\exists} \) $y in NN$ tale che $y<x$, ossia
questa relazione è eseguibile in $N$ se e solo se $y$ sia la potenza ennesima di un numero naturale.
Quindi nel nostro caso, gli elementi minimali sono tutti e soli gli $x in NN$ tali che non sono potenza di nessun numero naturale, se non di se stessi con esponente pari ad uno.

Ciao

Ti sei complicato un pò troppo la vita. Per la riflessività va bene. Per quanto riguarda l'asimmetria e la transitività, bastava fare una semplice sostituzione

$y=x^m=(y^n)^m=y^(mn)$ , e quindi dividendo per $y$,si ha $1=y^(mn-1)=>y=1$(ovviamente, va analizzato a parte il caso in cui $m=n=1$, come ha fatto)

Quindi, $x=y^n=1=>x=y$

Anche per la transitività, si può procedere così:

$z=y^m=(x^n)^m=x^(nm)$

Pasquale 90 ha scritto:Inoltre presi due elementi ad esempio 2,3∈N si ha che 2≠3n per ogni n∈N e sia 3≠2n per ogni n∈N per tale non sussiste la relazione d'ordine totale.

Ok

Pasquale 90 ha scritto:Invece per il minimo e il massimo, essendo che ≤ non è una relazione d'ordine totale allora le definizioni del min e del max non sussistono, quindi non esiste ne il minimo e ne il massimo in (N,≤).

Questo non è vero. Controesempio:

Consideriamo l'insieme $S={a,b,c}$, e definiamo in S la relazione binaria $<=$ ponendo: $a<=a,a<=b,b<=b,a<=c,c<=c$. $<=$è una relazione d'ordine in $S$, ma non è totale(infatti $b$ e $c$ non sono confrontabili), tuttavia $minS=a$

La dimostrazione del fatto che $(NN,<=)$ non è dotato di minimo e massimo, te l'ho fornita in un precedente post.

Pasquale 90 ha scritto:Quindi nel nostro caso, gli elementi minimali sono tutti e soli gli x∈N tali che non sono potenza di nessun numero naturale, se non di se stessi con esponente pari ad uno.

Ok.

Ciao mario955, grazie per la risposta

mario9555 ha scritto:Consideriamo l'insieme $ S={a,b,c} $, e definiamo in S la relazione binaria $ <= $ ponendo: $ a<=a,a<=b,b<=b,a<=c,c<=c $. $ <= $è una relazione d'ordine in $ S $, ma non è totale(infatti $ b $ e $ c $ non sono confrontabili), tuttavia $ minS=a $
.

ma quì non mi trovo, non voglio dire che la tua dimostrazione non sia corretta, ma si può procedere anche diversamente, cioè
$P=:$ Sia $S ne emptyset$ e sia $le$ una relazione di buon ordine, $Q=:$allora $le$ una relazione d'ordine totale in $S$
Quindi posso dire \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{Q} \) $to$ \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{P} \) almeno per il minimo quello che ho scritto dovrebbe avere senso, tu come dici ?

Ciao

Qual è la definizione di relazione di buon ordine? Dire che $R$ non è una relazione di buon ordine, che cosa equivale a dire? Penso che il problema sia nella risposta che dai alle suddette domande.