Gruppi liberi.

[3m0o]

Sia \( F \) un gruppo libero di base \( X \), dove \( X \) è un insieme.

a) Per \( x \in X \) verifica che l'applicazione \( s_x : F \mathbb{Z} \) che invia una parola ridotta \(w \in F \) sulla somma dei suoi esponenti dei termini \(x \) che appaiono in \( w \) è un omomorfismo di gruppo suriettivo.

b) Dimostra che se \( w \in F \) allora \( w \in [F,F] \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \)

c) Dimostra che se \( X \) è di rango \( \left| X \right| =n > 2 \) allora \( F/ [F,F] \cong \mathbb{Z}^n \).

Allora per il punto a) ho fatto:
Fissiamo \( x \in X \) e prendiamo una parola ridotta \( w=w_1^{m_1}\ldots w_k^{m_k} \) siccome è ridotta possiamo supporre che \( w_i \neq w_{i+1} \) per ogni \( 1 \leq i < k \). Sia \( J := \{ 1 \leq j \leq k : w_j= x \} \) allora abbiamo che \[ s_x(w)= \sum_{j \in J} m_j = \sum_{j \in J} s_x(w_j) = \sum_{ i=1}^{k} s_x(w_i) \]
e dunque siccome la struttura di gruppo di \( F \) è data dalla concatenazione delle parole abbiamo che per ogni \( w,w' \in F \)
\[ s_x(w w')=s_x(w)+ s_x(w' ) \]

Inoltre se \( n \in \mathbb{Z} \) abbiamo \( s_x(x^n) = n \) pertanto è suriettivo.

b) Se \( w \in [F,F] \) allora abbiamo che \( w = ghg^{-1}h^{-1} \) per qualche \( g,h \in F \) e risulta dunque abbiamo che siccome \( s_x \) è un omomorfismo allora per ogni \( x \in X \)
\[ s_x(w)=s_x(g) + s_x(h) + s_x(g^{-1}) + s_x(h^{-1}) = s_x(g) - s_x(g) + s_x(h) -s_x(h) =0 \]

Per l'altra direzione supponiamo che \( s_x(w)=0 \) per ogni \(x \in X \).
Procediamo per induzione sul numero di caratteri della parola, se la parola possiede un solo carattere allora abbiamo che \( w = e \), ovvero il simbolo "vuoto", che è incluso nel commutatore. Supponiamo vero per \( n -1 \)
Sia \( w = g x^{\alpha} h x^{\beta} u \)
dove \( g,h \) e \( u \) sono parole ridotte e \( \alpha, \beta \in \mathbb{Z} \). Abbiamo pertanto che
\( w= g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} h^{-1} h g x^{\alpha + \beta} u \)
Notiamo che \( g x^{\alpha} h x^{-\alpha}g^{-1} \in [F,F] \) e notiamo pure che \( s_x( h g x^{\alpha + \beta} u) = 0 \) per ogni \( x \in X \) poiché ha gli stessi esponenti di \( w \) però possiede un carattere in meno quindi per ipotesi induttiva abbiamo che \( h g x^{\alpha + \beta} u \in [F,F] \) pertanto siccome \( [F,F] \) è un gruppo abbiamo che è stabile dunque \( w \in [F,F] \).

Per c) ho pensato di fare così
\( s: F \to \mathbb{Z}^n \) definita \( s(w) := \prod_{x \in X} s_x(w) \) abbiamo dunque che che \( \ker (s) = [F,F] \) poiché \( s(w)=(0,\ldots,0 ) \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \).
Inoltre immagino sia suriettiva poiché ciascuna componente è suriettiva e pertanto se esiste una \(n\)-upla in \( \mathbb{Z}^n \) che denotiamo con \( (z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb{Z}^n \) allora esiste la parola \[ w=\prod_{x \in X} x^{z_j} \]
la cui immagine per \(s \) è \( (z_1,\ldots,z_n) \), dunque per il primo teorema d'isomorfismo che
\[ F/[F,F] \cong \mathbb{Z}^n \]

[j18eos]

Fino alla prima parte del punto (b) sono d'accordo... poi vedremo.

[3m0o]

Forse l'induzione ho iniziato dal passo iniziale sbagliato credo devo iniziare da lunghezza \(4 \), presi \( x,y \in X \) avere \( w = xyx^{-1}y^{-1} \).

[j18eos]

In effetti manca il passo base...