13/01/2020, 22:15
13/01/2020, 23:30
No, questa è un'altra cosa ti basta questo, o vuoi sapere cosa?3m0o ha scritto:Se prendo \( X \) un insieme, e \( \{ A_x : x \in X \} \) una collezione di gruppi abeliani (finiti?). Il gruppo abeliano libero è la somma diretta \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \).
Qui non capisco cosa hai scritto...Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \( x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
14/01/2020, 02:02
No, questa è un'altra cosa ti basta questo, o vuoi sapere cosa?
solaàl ha scritto:Qui non capisco cosa hai scritto...Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \( x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
14/01/2020, 09:22
14/01/2020, 12:54
solaàl ha scritto:Ah, ho capito qual è il tuo problema.
No, il gruppo abeliano libero su un insieme è una somma diretta di copie di Z, tante quante sono gli elementi dell'insieme; prova a dimostrare che effettivamente c'è una biiezione
\[
\bigoplus_{x\in X}\mathbb Z \cong \{f : X \to \mathbb Z \mid f(x)=0 \quad \forall\!\!\forall x\}
\] mi sembra tu ne sia in grado. (La notazione \(\forall\!\!\forall x\) significa "per ogni x tranne un numero finito.)
14/01/2020, 14:27
14/01/2020, 14:36
3m0o ha scritto:Ora la parte seguente la copio dagli appunti perché c'è una cosa che non capisco bene la evidenzio in grassetto:
Inotre \( A \), che ricordiamo aver definito come \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \), è unico ad un isomorfismo scelto (non saprei tradurre bene questa frase: "il est unique a un isomorphisme près").
Supponiamo infatti che ne esista un'altra somma diretta \( A' \) allora \( \operatorname{Hom}(A',A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \)
scegliamo \( B=A \) allora abbiamo che \( (\ell_x)_{x \in X} \to \ell : A' \to A \)
inoltre scambiando i ruoli di \( A \) e di \(A' \) abbiamo che
\( \operatorname{Hom}(A,A') \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A') \)
abbiamo che \( (\ell_x')_{x \in X} \to \ell' : A \to A' \)
e si puo dimostrare che \( \ell ' \circ \ell = id_{A'} \) e \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) per dimostrare che \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) utilizziamo il fatto che \( \operatorname{Hom}(A,A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \) dove \( (\ell_x)_{x \in X} \mapsto ?? \)
l'immagine potrebbe essere sia \( Id_{A} \) sia \( \ell \circ \ell' \) pertanto siccome abbiamo una biiezione deduciamo che \( Id_{A} = \ell \circ \ell' \).
Allo stesso modo \( \ell' \circ \ell = Id_{A'} \) e deduciamo che \( A \cong A' \).
Il caso speciale \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) allora abbiamo che
\[ \operatorname{Hom}( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} , B)= \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}( \mathbb{Z} , B) = \prod_{x \in X} B= \mathcal{F}(X,B) \]
dove \( \mathcal{F}(X,B) \) indica le applicazioni da \( X \) verso \(B \)
Le ultime due uguaglianze non le ho capite
14/01/2020, 20:41
14/01/2020, 21:41
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