Lemma di Ping-Pong
Inviato: 14/01/2020, 03:51
a) Dimostra il Lemma di Ping-Pong.
Sia \(G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \) e siano \( g_1, \ldots, g_k \in G \) di ordine infinito, per \( k \geq 2 \). Supponiamo che esistono dei sottoinsiemi non vuoti e disgiunti \( X_1, \ldots, X_k \) di \( X \) tale che \( g_i^nX_j \subseteq X_i \) per tutti \( i \neq j \), e per tutti gli \( n\in \mathbb{Z}^* \). Allora il sottogruppo
\( H = \left< g_1, \ldots, g_k \right> < G \) è libero di base \( \{ g_1, \ldots, g_k \} \).
Hint: Dimostra che per tutte le parole ridotte \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) non è triviale considerando l'azione su uno degli \( X_i \) (ben scelto), comincia dal caso \( i_1 = i_r \).
Le soluzioni dicono:
Sia \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) una parola ridotta, e siccome è ridotta allora possiamo supporre che \( i_j \neq i_{j+1} \), inoltre sia \( k \neq i_1 \) allora
\[ g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} X_{k} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-1}}^{n_{r-1}} X_{i_r} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-2}}^{n_{r-2}} X_{i_{r-1}} \subseteq g_{i_1}^{n_1} X_{i_2} \subseteq X_{i_1} \]
In particolare \( w \) non agisce trivialmente su \( X_k \) poiche \( X_{i_1} \) e \( X_k \) sono disgiunti. Dunque \( w \neq e \).
Supponiamo ora che \( i_1 \neq i_r \) e siano \( m \in \mathbb{Z} \) tale che \( m \neq n_1 \) e \( m \neq 0 \). Poniamo allora
\[ w' = g_{i_1}^{-m}wg_{i_1}^m = g_{i_1}^{n_1 - m} \ldots g_{i_r}^{n_r}g_{i_1}^m \]
è una parola ridotta come nel primo caso. Dunque \( w' \neq e \) e quindi \( w \neq e \).
Tutto molto bello e ho capito ogni passaggio, tranne uno, direi fondamentale. Ma perché diamine questa roba dimostra il Lemma di Ping Pong? Non ne ho la minima idea, qualcuno potrebbe illuminarmi?
Grazie.
Sia \(G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \) e siano \( g_1, \ldots, g_k \in G \) di ordine infinito, per \( k \geq 2 \). Supponiamo che esistono dei sottoinsiemi non vuoti e disgiunti \( X_1, \ldots, X_k \) di \( X \) tale che \( g_i^nX_j \subseteq X_i \) per tutti \( i \neq j \), e per tutti gli \( n\in \mathbb{Z}^* \). Allora il sottogruppo
\( H = \left< g_1, \ldots, g_k \right> < G \) è libero di base \( \{ g_1, \ldots, g_k \} \).
Hint: Dimostra che per tutte le parole ridotte \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) non è triviale considerando l'azione su uno degli \( X_i \) (ben scelto), comincia dal caso \( i_1 = i_r \).
Le soluzioni dicono:
Sia \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) una parola ridotta, e siccome è ridotta allora possiamo supporre che \( i_j \neq i_{j+1} \), inoltre sia \( k \neq i_1 \) allora
\[ g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} X_{k} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-1}}^{n_{r-1}} X_{i_r} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-2}}^{n_{r-2}} X_{i_{r-1}} \subseteq g_{i_1}^{n_1} X_{i_2} \subseteq X_{i_1} \]
In particolare \( w \) non agisce trivialmente su \( X_k \) poiche \( X_{i_1} \) e \( X_k \) sono disgiunti. Dunque \( w \neq e \).
Supponiamo ora che \( i_1 \neq i_r \) e siano \( m \in \mathbb{Z} \) tale che \( m \neq n_1 \) e \( m \neq 0 \). Poniamo allora
\[ w' = g_{i_1}^{-m}wg_{i_1}^m = g_{i_1}^{n_1 - m} \ldots g_{i_r}^{n_r}g_{i_1}^m \]
è una parola ridotta come nel primo caso. Dunque \( w' \neq e \) e quindi \( w \neq e \).
Tutto molto bello e ho capito ogni passaggio, tranne uno, direi fondamentale. Ma perché diamine questa roba dimostra il Lemma di Ping Pong? Non ne ho la minima idea, qualcuno potrebbe illuminarmi?
Grazie.