Invertibilità di un polinomio

[zKlaus]

Salve a tutti, preparandomi all'esame di matematica discreta, mi sono imbattuto in un esercizio sui polinomi, il seguente:
Fissato il polinomio
$ p(x)=2x^2+x+2 in Z_5[x] $

Si dica se l'elemento
$ [x^3+3x+1]in Z_5[x]//(p(x)) $
È invertibile o è un divisore dello zero, inoltre se ne determini l'inverso o un co-divisore di zero, coerentemente con la risposta data.

Il mio primo pensiero di come approcciarmi a questo esercizio è stato quello di sostituire l'elemento all'interno del polinomio, così da ottenere:
$ 2x^6+12x^4+5x^3+18x^2+15x+5 $

E poi da questo polinomio operare per verificare se esso sia invertibile o divisore dello zero.
Tuttavia sono alquanto sicuro di aver commesso qualche castroneria o non aver fatto caso a qualcosa, questo perché il capitolo dei polinomi purtroppo non ho avuto modo di seguirlo a lezione, se qualcuno di voi mi riuscirebbe a dare una mano, gliene sarei eternamente grato.

[solaàl]

sostituire l'elemento all'interno del polinomio

Che significa? Forse che l'invertibilità è rispetto alla operazione di composizione funzionale? Questo è sbagliato: i polinomi che, guardati come funzioni polinomiali, sono invertibili, sono molto pochi.

Piuttosto, quello che ti si chiede è di capire se l'elemento \([x^3+3x+1]\) in questione è invertibile rispetto al prodotto (di Cauchy) di polinomi: e allora, questo succede se e solo se il polinomio in questione e quello per cui quozienti sono coprimi (nel senso che il loro MCD è 1).