Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico

[marco2132k]

Ciao. Ho bisogno di questo fatto per degli esercizi, e pensavo di dimostrarlo.

Sia \( G \) un gruppo ciclico, e sia \( H \) un suo sottogruppo. Allora \( H \) è ancora ciclico.

Dimostrazione. Sia \( p\colon \mathbb Z\to G \) la funzione potenza \( n\mapsto x^n \), dove \( G = \langle x\rangle \). L'immagine inversa \( p^*(H) \) del sottogruppo \( H \) è un sottogruppo di \( \mathbb Z \) contenente il nucleo \( \operatorname{Ker}p \), e ne posso perciò considerare il quoziente per questo ragazzo. Accade che esiste un unico omomorfismo iniettivo \( \theta\colon\mathbb Z/{\operatorname{Ker}p}\to G \): la restrizione di \( \theta \) al sottogruppo \( p^*(H)/{\operatorname{Ker}p} \) di \( Z/{\operatorname{Ker}p} \) è, dunque, un isomorfismo di un sottogruppo di \( \mathbb Z/{\operatorname{Ker}p} \) su \( H \). \( \square \)

Questa è l'idea generale. Ora devo far vedere che: 1) ogni sottogruppo di un gruppo \( \mathbb Z_n = \mathbb Z/{\mathbb Zn}\) è ciclico; 2) che un qualsiasi gruppo isomorfo ad un gruppo ciclico è ciclico;

La 2) è facile: se \( A\cong B \), con \( B \) ciclico, per un iso \( \varphi\colon A\to B \), ogni elemento di \( A \) è una potenza dell'immagine inversa \( \varphi^{-1}(b) \) del generatore \( B = \langle b\rangle \). \( \square \)

Per la 1): se \( G \) è un gruppo e \( N \) è un suo sottogruppo normale, ogni sottogruppo del quoziente \( G/N \) si scrive in modo unico come quoziente \( H/N \), per un sottogruppo \( H \) di \( G \) contenente \( N \). Quindi, un sottogruppo di \( \mathbb Z_n \) è una cosa della forma \( {\mathbb Zm}/{\mathbb Zn} \), per \( \mathbb Zm\supset\mathbb Zn \). Dato \( \bar x\in{\mathbb Zm}/{\mathbb Zn} \), è \( \bar x = x + \mathbb Zn \), per \( x\in\mathbb Zm \). Allora \( x \) è multiplo di \( m \), cioè \( \bar x \) si scrive sempre come \( km \), per qualche \( k \) in \( \mathbb Z \). Quindi un sottogruppo \( {\mathbb Zm}/\mathbb Zn \) è sempre un insieme di multipli di \(
\bar m \). Ora sono un poco fuso, ma cosa mi dice esattamente in questo caso la condizione \( \mathbb Zn\subset\mathbb Zm \)?

Accade qualcosa di questo tipo? Se \( G \) è un gruppo qualsiasi, e \( N \) è normale e contenuto nel gruppo ciclico \( \langle x\rangle \) generato da un \( x\in G \), è vero che se \( N\subset \langle x\rangle \), allora \( {\langle x\rangle}/N \) è ciclico? Penso proprio di sì, ma non ho voglia di dimostrarlo

[solaàl]

Ci sono solo due tipi di gruppi ciclici: quelli finiti, che sono isomorfi a \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), e \(\mathbb Z\). Se sai dimostrare 1, e sai dimostrare la stessa cosa per Z, quindi, hai finito.

Per quanto riguarda 1, come giustamente dici, per un teorema di isomorfismo i sottogruppi di \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) sono i sottogruppi di \(\mathbb Z\) che contengono \((n)\), cioè sono quelli della forma \(kn\mathbb Z/n\mathbb Z\). Per un altro teorema di isomorfismo, \(kn\mathbb Z/n\mathbb Z\cong \mathbb Z/k\mathbb Z\), che è ancora ciclico.

Per quanto riguarda \(\mathbb Z\)... di fatto è la stessa cosa: un sottogruppo di \(\mathbb Z\) è della forma \(n\mathbb Z\) per qualche \(n\in\mathbb Z\), e quindi è esso stesso isomorfo, come gruppo, a \(\mathbb Z\) stesso, che è ciclico (perché liberamente generato da un elemento).

[marco2132k]

Ci sono solo due tipi di gruppi ciclici [...]

Se ogni sottogruppo di \( \mathbb Z_n \) è ciclico, allora dato un sottogruppo \( H \) di un gruppo ciclico capita che a) se \( G = \langle x\rangle\) è infinito, è (\( G\cong\mathbb Z/0 \) e quindi) \( G\cong\mathbb Z \), e ogni suo sottogruppo è, per forza, ciclico; b) se \( G \) è di ordine finito, è \( G\cong Z_n \) per il più piccolo intero positivo tale che \( x^n = 1 \). Ammesso che ogni sottogruppo di un gruppo \( \mathbb Z_n \) sia ciclico, \( H \) è isomorfo ad un gruppo ciclico; allora è ciclico. Così dovrebbe essere più pulito, anche se si dividono due casi.

I risultati da usare qui sono: 1) la stessa "1)" di prima; 2) la stessa "2)" di prima, magari con l'aggiunta banale di \(\mathbb Z \); 3) il fatto che se due gruppi sono isomorfi, allora c'è una corrispondenza biunivoca tra i loro sottogruppi, che manda un sottogruppo in un altro che gli è isomorfo; 4) che per un gruppo ciclico infinto \( G = \langle x\rangle \) non ci sia mai nessun \( m\in\mathbb Z \) tale che \( x^m = 1\).

Non ho capito come dimostri 1). Più che altro: perché i sottogruppi di \( \mathbb Z_n \) sono della forma \( {\mathbb Zkn}/{\mathbb Zn} \)? (Non è \( n = km \) per qualche \( k \)?)

Infine: nell ultime righe stai usando il risultato sulla struttura dei gruppi cicilci per provare che un sottogruppo di \( \mathbb Z \) è ciclico. Perché? È evidente che \( Zn \) sia \( \langle n\rangle \); praticamente è una definizione.

[solaàl]

Non ho capito come dimostri 1). Più che altro: perché i sottogruppi di \( \mathbb Z_n \) sono della forma \( {\mathbb Zkn}/{\mathbb Zn} \)? (Non è \( n = km \) per qualche \( k \)?)

Oof, sì, certo.

[Cantor99]

Si potrebbe fare anche con la sola definizione .

Sia $G$ un gruppo ciclico e $H$ un sottogruppo di $G$. Se $H=\{1\}$ non c'è nulla da dimostrare. Sia ora $H$ un sottogruppo non identico e $1\ne h\in H$. Se $g$ è un generatore di $G$, allora $h=g^{n}$ per qualche $n\in \mathbb{N}$ e risulta non vuoto $I=\{n\in \mathbb{N}: g^{n}\in H\}$. Quindi esiste $m=\min I$ e proviamo che $H=\langle g^{m}\rangle$. Sia $x\in H$ e $t\in \mathbb{N}_{0}$ tale che $x=g^{t}$: per l'algoritmo di Euclide esistono degli interi $q,r$ tali che $t=mq+r$ e $0\le r<m$. In particolare, $x=g^{mq+r}=g^{mq}g^{r}$: se ora $r$ fosse diverso da 0 avremmo che $g^{r}=x(g^{mq})^{-1}\in H$ contraddicendo la minimalità di $m$. Quindi $r=0$ e $x=(g^{m})^{q}\in \langle h^{m}\rangle$.