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Buongiorno a tutti.faccio una semplice domanda teorica,alla quale non riesco a trovare risposta da nessuna parte.
Riuscireste a farmi l' esempio pratico di un endomorfismo NON suriettivo?
Non riesco inoltre a capire perché un endomorfismo é suriettivo se e solo se é suriettivo.

(Chiedo scusa, ma essendo un nuovo iscritto non ho ancora imparato ad inserire le formule)

Gli endomorfismi sono applicazioni di spazi vettoriali in se stesso, quindi la dimensione del dominio e del dominio coincidono.
Un endomorfismo non suriettivo è un endomorfismo il cui nucleo è diverso dal solo vettore nullo.
Sei in questa situazione:


Per il teorema del nucleo e dell'immagine


Quindi \(\displaystyle n= dimKer(f)+dim(f) \)

Per un'altra proprietà, sai che se la dimensione dell'immagine e la dimensione del codominio sono uguali allora l'applicazione è suriettiva, ma (f endomorfismo) dimCodominio=n=dimV

Osservando la formula, noterai che quando dimKer(f)=0 allora dimIm(f) deve essere necessariamente uguale ad n, quindi f è un endomorfismo suriettivo

Quando dimKer(f)>0 allora dim(f) sarà sicuramente minore di n e per la proprietà che ti ho sottolineato f non sarà suriettiva

Parti esaminando la logica della tua frase. Hai scritto una cosa tautologica. Un endomorfismo è solamente un omomorfismo da un gruppo in se stesso \( f\colon V\rightarrow V \).
Un endomorfismo surgettivo si dice epimorfismo.