Cardinalità normalizzatore di un \(p\)-sottogruppo di Sylow.

[3m0o]

Ieri all esame di teoria dei gruppi c'era questa domanda:
Sia \( S_5 \) il gruppo simmetrico su cinque lettere e \( P \) un suo \(p\)-sottogruppo di Sylow. Sia \( N_{S_5}(P) := \{ g \in S_5 : gPg^{-1} = P \}\) il normalizzatore di \(P \), il normalizzatore di \(P\) può essere di cardinalità dispari?

Io sono arrivato ad escludere tutte le possibilità tranne una. Indicando con \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) il numero, rispettivamente, dei \(2\)-sottogruppi di Sylow, dei \(3\)-sottogruppi di Sylow e dei \(5\)-sottogruppi di Sylow. Tra tutte le possibilità l'unica in cui il normalizzatore potrebbe essere di cardinalità dispari è se \(P\) è un \(3\)-sottogruppo di Sylow e \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\). In tutti gli altri casi la cardinalità del normalizzatore di un \(p\) sottogruppi di Sylow qualsiasi con \(p \in \{2,3,5\}\) è pari. Ma non sono riuscito a trovare nessun argomento che mi facesse concludere che \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) sono effettivamente \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\), e dunque esiste \(P\) tale che il normalizzatore di \(P\) è di cardinalità dispari oppure che non sono \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\) e quindi il normalizzatore di un \(p\) sottogruppi di Sylow è sempre di cardinalità pari.
Se non con la forza bruta, ma insomma sono \(120 \) permutazioni... e non ho avuto il tempo

[Martino]

Non capisco, se $n_2=5$ allora il normalizzatore ha ordine $120/5 = 24$, pari, e se $n_5=1$ allora il normalizzatore è $S_5$ che ha ordine $120$, pari.

L'unico caso che devi esaminare è $n_3=40$.

Ma prova a domandarti questo: se prendi un $3$-Sylow $P$ questo quanti elementi ha? Qual è la struttura ciclica degli elementi di $P$ nel gruppo simmetrico? Esiste un elemento di ordine $2$ che commuta con ogni elemento di $P$? E questo elemento sta quindi nel normalizzatore di $P$?

[3m0o]

Si infatti ho detto che l'unica possibilità è con un \(3\)-Sylow

Tra tutte le possibilità l'unica in cui il normalizzatore potrebbe essere di cardinalità dispari è se \( P \) è un \( 3 \)-sottogruppo di Sylow e \( n_3=40 \), \( n_2=5 \) e \( n_5=1 \).

Il fatto è che \( n_2 \in \{ 1,3,5,15 \} \), \( n_3 \in \{ 1,4,10,40 \} \) e \( n_5 \in \{1,6 \} \)
Tra tutte le terne \( (n_2,n_3,n_5) \) possibili l'unico che potrebbe avere dei \(p\) Sylow il cui normalizzatore ha cardinalità dispari è \(n_3=40 \) ed è un \(3\) Sylow. Ora se \(n_3 = 40 \) hai che i tre numeri devono soddisfare questa relazione:
\[ 2n_3+4n_5 + 7n_2+1=120 \]
e se \(n_5=6 \) allora ottieni che \( n_2 = 15/7 \) che è assurdo. Quindi \(n_5=1 \) e deduci che \(n_2 =5 \) che purtroppo soddisfa quella equazione e quindi è a priori una terna possibile di sottogruppi di Sylow.
Quindi non sapevo escludere il fatto che \(n_3=40 \), oppure potevo anche dimostrare che \(n_2 \neq 5 \) o \(n_5 \neq 1 \) che implica automaticamente che \(n_3\neq 40\). Ma non sapevo come fare.

[Martino]

No no, quello che dici è sbagliato. Stai dicendo che $S_5$ contiene $7n_2$ elementi di ordine una potenza di $2$ diversa da $1$ (quindi $2$, $4$ oppure $8$) ma questo è falso, pensaci! E' vero solo se l'intersezione di due qualsiasi $2$-Sylow è ${1}$. E in questo caso non lo è.

Comunque hai ragione che basta escludere $n_3=40$. Per fare questo pensa alle domande che ti ho fatto nel precedente intervento.

[3m0o]

Hai ragione cavolo.
Quindi la mia conclusione era sbagliata, sono arrivato a dire che l'unico problema era con \(n_3=40 \) e poi ho concluso che \(n_2=5 \) ed \(n_5=1\). Ma non riuscivo ad escludere questa possibiltà.
Vabbè.

Ma prova a domandarti questo: se prendi un $ 3 $-Sylow $ P $ questo quanti elementi ha? Qual è la struttura ciclica degli elementi di $ P $ nel gruppo simmetrico? Esiste un elemento di ordine $ 2 $ che commuta con ogni elemento di $ P $? E questo elemento sta quindi nel normalizzatore di $ P $?

Ok ci penserò meglio quando avrò più tempo. Grazie.