generatori gruppi

[Lorenzo99@]

salve, sto provando a risolvere questi esercizi:
1)Trovare un generatore di (Z8, ·)
|Z8| = 8
quindi per il teorema di lagrange gli ordini dei suoi elementi sono 1,2,4,8
L'unico generatore che riesco a trovare è 8, è giusto ?
2)Trovare un generatore di (Z4*, ·)
|Z4*|=3
quindi per il teorema di lagrange gli ordini dei suoi elementi sono 1,3
quindi l'unico generatore che sono riuscito a trovare è 3 ,giusto?

[vict85]

Ti consiglio di ripassarti la definizione di generatore. Non mi sembra che ti sia chiaro. Per esempio, \(1\) è un generatore di \((\mathbb{Z},+)\). Infatti ogni elemento può essere scritto come \(n = \pm 1 \pm 1\pm \dotsb \pm 1\)

Comunque, \(\mathbb{Z}_8 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]\}\) quindi \(8\) non può essere un generatore di \(\mathbb{Z}_8\). Tra l'altro, l'insieme \(\mathbb{Z}_8\) non è un gruppo con la moltiplicazione, perché? Lo sapresti motivare?
Supponiamo che intendessi \((\mathbb{Z}_8,+)\). In questo caso, \([1]\) ne è un generatore (stessa ragione che in \((\mathbb{Z},+)\)). In base alla teoria che dovresti aver studiato, pensi che ce ne siano altri?

Se invece volevi dire \(\mathbb{Z}^*_8 = \{[1], [3], [5], [7]\}\) allora l'insieme ha cardinalità \(4\) e non è ciclico. Infatti \([1]\) è elemento neutro e \([3]^2 = [5]^2 = [7]^2 = [1]\). Ti invito a fare i calcoli. Ogni coppia dell'insieme \(\{[3], [5], [7]\}\) genera tutto lo spazio, ma non mi metto a dimostrarlo perché si tratta solo di fare i vari prodotti.

2) In questo caso, hai azzeccato che [3] è generatore di \((\mathbb{Z}^*_4, \cdot)\), ma la tua spiegazione non ha senso. E la cardinalità di \(\mathbb{Z}^*_4\) non è 3 ma 2, infatti \(\mathbb{Z}^*_4 = \{[1], [3]\}\).

[Lorenzo99@]

grazie, ho provato a leggere sul libro come determinare l'ordine di un gruppo ma non ci ho capito molto, puoi farmi un esempio? grazie

[vict85]

L'ordine di un gruppo è la cardinalità dell'insieme a cui fa riferimento. \(\mathbb{Z}_4^*\) ha due elemento perché l'anello \(\mathbb{Z}_4\) ha due elementi invertibili (\(1\) e \(3\)). In generale, \(\mathbb{Z}_n^*\) ha cardinalità \(\varphi(n)\) (mi riferisco a questa funzione) perché un elemento dell'anello \(\mathbb{Z}_n\) è invertibile se è coprimo con \(n\).
Però una cosa è l'ordine di un gruppo e l'altra è l'ordine di un elemento.