Combinatoria lettere parole

[3m0o]

Considera la parola DISCRETEMATHEMATICS, in quanti modi può essere arrangiata in modo tale che
1) La parola inizia per AT
2) Le vocali sono adiacenti
3) La parola MATH è sempre inclusa

Se non ho contato male vi sono
1 sola D
1 sola R
1 sola H
2 I,S,C,A,M
3 T,E
Per un totale di 19 lettere.

1) Fissiamo le lettere iniziali "AT" e rimaniamo con 17 lettere, vi sono in totale \( 17! \) modi di arrangiare queste lettere però siccome abbiamo lettere ripetute doviamo dividere per le permutazioni che ci restituiscono lo stesso numero di parole dunque per ciascuna lettere che è contenuta 2 volte nella parole dividiamo per \(2!\) e per ogni lettera contenuta 3 volte nella parola dividiamo per \(3!\). In totale otteniamo che vi sono
\[ \frac{17!}{2^5 3! 3!} \]
parole che iniziano con le lettere AT

sono indeciso se devo dividere per \( 2^5 3! 3! \) oppure per \( 2^5 3! \) considerando che ho fissato la A e la T e quindi le T diventano 2 e la A una sola.

2) Calcoliamo il numero di permutazioni della parola DSCRTMTHMTCS \( \Phi\) dove \(\Phi \) rappresenta il gruppo di vocali tutte adiacenti tra loro.
Con un ragionamento analogo a prima abbiamo in totale
\[ \frac{13!}{2^3 3! } \]
permutazioni della parola sopra.
Ora calcoliamo il numero di permutazioni di \( \Phi=\)IIEEEAA, abbiamo che vi sono in totale
\[ \frac{7!}{2^2 3!} \]
permutazioni e dunque il numero totale di arrangamenti tale che le vocali siano adiacenti è
\[ \frac{13! 7!}{2^5 3! 3! } \]

3) Calcoliamo il numero di permutazioni della parola DISCRETEEMATICS\(\Phi\) dove sta volta \( \Phi \) rappresenta la parola MATH per un ragionamento analogo a prima abbiamo
\[ \frac{16!}{2^4 3! } \]
sono indeciso come nel punto precedente se devo dividere per \( 2^4 3! \) considerando nel primo caso che ho fissato le lettere MATH e quindi le A e le M diventano 1 e le T diventano 2 (quindi 4 lettere che si ripetono 2 volte e una lettera che si ripete 3 volte) oppure dividere per \( 2^5 3! 3! \).