Sottogruppi normali

[marco2132k]

Ciao. Se ho un gruppo ciclico \( C \) di ordine \( 8 \) è \( x^8 = x^m \), dove \( m = k8 \), per qualche \( k\in\mathbb Z \). Questa relazione si può scrivere come \( (x^8)(x^k8)^{-1} = 1 \), come ogni relazione tra gli elementi di un gruppo. Detto ciò, vorrei far vedere che relazioni come quella lì sopra, cioè del tipo \( u = v \), hanno senso in un gruppo \( G \) (ossia, vale in \( G \) l'identità \( uv^{-1} = 1 \) e, soprattutto, non si contraddicono tra loro - \( aa^{-1}b = ab \) non ha senso con \( b\neq a \): contraddice il fatto che \( aa^{-1} = 1 \)), se e solo se le parole \( uv^{-1} \) nel gruppo libero \( F_G \) su \( G \) formano un sottogruppo normale.

È vero? Sia \( G \) un gruppo. Sia \( \phi \) l'omomorfismo \( F_G\to G \) che risulta dalla proprietà universale di \( F_G \). Le parole che danno \( 1 \) una volta valutate in \( G \) sono esattamente \( \operatorname{Ker}\phi \) (per le proprietà di \( \phi \), appunto). Ma, dato \( N\trianglelefteq F_G \), dire che i prodotti delle lettere delle parole di \( N \) danno il neutro non è equivalente a dire che \( \operatorname{Ker}\phi \) è il più grande sottogruppo normale di \( F_G \)? Non è vero, però non mi viene un controesempio.

Se considero ad esempio \( \mathbb Z_8 \), è vero che un sottogruppo normale \( N \) di \( F_{\mathbb Z_8} \) è un "insieme di relazioni" di \( \mathbb Z_8 \)? Boh... (E come è fatto un sottogruppo normale di \( F_{\mathbb Z_8} \) allora?)

[solaàl]

Ti è chiaro, anzitutto, come si presenta un gruppo mediante generatori e relazioni? Se sì, è facile unire i puntini: quando scrivi \(G\cong \langle S\mid R\rangle\) stai dicendo che \(G\) fitta in una successione esatta

dove \(\epsilon\) è esattamente la counità \(\epsilon_G : F(S)\to G\) (se un insieme \(S\) genera \(G\), è vero che \(FS\cong F|G|\)?) ed \(N\cong\ker\epsilon\) è libero sull'insieme \(R\) di relazioni che presentano \(G\) (il fatto che $N$ siia libero non è ovvvio: è un teorema dovuto a Schreier).

[marco2132k]

Ti è chiaro, anzitutto, come si presenta un gruppo mediante generatori e relazioni?

Qual è il senso di prendere la chiusura normale delle parole ottenute dalle relazioni di \( R \)? (Come ho in mente, è vero che dato un gruppo \( G \) generato da \( X \) è \( G\cong F_G/{\operatorname{Ker}\phi} \), ma così non si introducono "relazioni esterne" oltre a quelle di \( R \)?

(riprendo domani)

[solaàl]

\(\ker \epsilon\) è libero (per Schreier) esattamente su quelle parole che sono tali da essere l'identità in G.

[marco2132k]

@arnett Avrei dovuto scriverlo meglio. In \( F_X \), dove \( X = \{x\} \), quella relazione non vale: dovrebbe essere \( x^8 = 1\) in ogni gruppo \( G^\prime \) per cui tu abbia scelto una \( X \)-upla (in questo caso, un elemento) dove mappare i corrispondenti in \( F_X \) per l'inclusione canonica \( \eta\colon X\hookrightarrow F_X \). O, almeno, questo è quello che ho capito io della proprietà universale di \( F_X \). Btw \( F_X \) è isomorfo a \( \mathbb Z \) quando \( X \) ha un solo elemento (perché è ciclico e infinito, con \( F_X = \langle\eta(X)\rangle = \langle x\rangle \); o almeno credo).

@solaàl

se un insieme S genera G, è vero che FS≅F|G|?

Intendi "\( F_S \cong F_G \)"? Secondo me sì (non dovrebbero essere uguali)?

[solaàl]

Sì, ti chiedevo di dimostrare che sono isomorfi

[marco2132k]

Scusa, ma se prendo un gruppo ciclico finito \( C = \langle x\rangle \), ho che \( F_{\{x\}} \cong \mathbb Z\), e \(
F_C \cong \prod_{c\in C}\mathbb Z \). (cazzata?)