Dimostrazione semplice : interpretazione astratta

[Desirio]

Buongiorno e grazie anticipamente a tutti per le risposte.

Sto studiando da poco questo nuovo, per me, argomento: l'interpretazione astratta. Quindi sto studiando la parte relativa all'algebra lineare ( reticoli, connessioni di Galois).
In particolare mi sono imbattuta in una dimostrazione da fare e non so se sto ragionando bene o meno.

Dati $(C, <= ), (A, supe )$ e $\alpha: C-> A$ , $\gamma: A -> C$ (astrazione e concretizzazione). Vogliamo dimostrare che alpha $AA a in A$, $a = alpha(gamma(a))$ implica $\alpha$ suriettiva.

alpha è suriettiva se $AA a in A$, $EE c in C$ t.c. $alpha(c) = a.$

Ho ragionato così.

Sia $a_1 in A$, $a_1 = alpha(gamma(a_1))$.

Se alpha non fosse suriettiva allora $EE a' in A$ tale che $AA c in C a' != alpha(c)$.
Sia $a_1 = a'$ senza perdere di generalità.
Se $alpha$ non fosse sueriettiva, seguirebbe anche che $AA c in C, c != gamma(a_1)$ : ma questo è un assurdo per ipotesi in quanto $a_1 = alpha(gamma(a_1))$ e quindi $EE c in C$, t.c: $ c = gamma(a_1)$


Può andare bene o è sbagliato ?

Provo a riscriverla meglio.

Se $alpha$ non fosse suriettiva allora $AA c in C, EE a_1 in A$ tale che $a_1 != alpha(c)$.
Cioè questo equivale a dire che NON esiste $c_1 in C$ tale che $a_1 = alpha(c_1)$. Ma per ipotesi, possiamo scrivere $a_1 = alpha(gamma(a_1))$ e quindi per forza $EE c_1 in C$ tale che $c_1 = gamma(a_1)$: assurdo.
$alpha$ è suriettiva.


Inoltre avreste delle dispense da consigliarmi di leggere per comprendere meglio argomenti di interpretazione astratta

Grazie

[solaàl]

Non capisco: se la composizione di due funzioni $\alpha$ e $\gamma$ è l'identità, cioè se $\alpha\circ \gamma=1$, allora $\gamma$ è un'inversa destra di $\alpha$, che quindi è suriettiva. Cosa c'è da dimostrare?

[otta96]

Poi lo puoi fare molto più velocemente dicendo che $a=\alpha(\gamma(a))=>a\in\alpha(C)$.

[Desirio]

Poi lo puoi fare molto più velocemente dicendo che $a=\alpha(\gamma(a))=>a\in\alpha(C)$.

A me piace complicarmi la vita.

Comunque grazie, adotto la tua dimostrazione meno complessa