metodo per trovare il centro di un gruppo ciclico

Messaggioda PietroDallaValentina » 25/01/2020, 15:38

Ciao! Volevo chiedere se esiste un modo più o meno standard di ragionare in situazioni come questa:
In $Sym(n)$ sia $G=H<\gamma>$ con $H$ sottogruppo normale ciclico di $G$ e $\gamma$ una permutazione. Come si calcola $Z(G)$?
L'inizio del mio ragionamento è:
Siccome $G$ è il prodotto diretto di due gruppi ciclici, allora: $Z(G)=C_{G}(H)\cap C_{G}(<\gamma>)$, come posso continuare?

(Per un esempio pratico: in $Sym(6)$, $H=<\alpha,\beta>$ con $\alpha=(1,2,4),\beta=(3,5,6)$ e $\gamma=(1,3)(2,5)(4,6)$ risulta essere $Z(G)=<\alpha\beta^{-1}>$, perchè?
PietroDallaValentina
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Re: metodo per trovare il centro di un gruppo ciclico

Messaggioda Martino » 26/01/2020, 13:01

Ciao. Vedo molta confusione teorica. Chiariamo un paio di cose: dici "centro di un gruppo ciclico" ma il gruppo $G$ che proponi non è ciclico. Dici che è un prodotto "diretto" ma poi scrivi $H<gamma>$ che come notazione generale indica un prodotto interno generico tra sottogruppi, cioè se $A$ e $B$ sono sottogruppi di $G$ definiamo

$AB={ab : a in A, b in B}$

Ora nel tuo caso $G=H<gamma>$ è un prodotto di sottogruppi, ma non è "prodotto diretto di gruppi ciclici" (come dici) perché

1. Non è diretto
(Sai cos'è un prodotto diretto?)

2. $H$ in generale non è ciclico
(Sai cos'è un gruppo ciclico?)

Detto questo quello che vale in generale è questo: se $G=AB$ con $A,B$ sottogruppi (o anche sottoinsiemi) di $G$ allora un elemento di $G$ sta nel centro di $G$ se e solo se commuta con ogni elemento di $G$ (per definizione di centro) e in questo caso è facile vedere che questo è equivalente a dire che tale elemento commuta con ogni elemento di $A$ e con ogni elemento di $B$, cioè

$Z(G)=Z(AB)=C_G(A) nn C_G(B)$.

Qui se $X$ è un sottoinsieme di $G$ allora $C_G(X)$ indica il centralizzante di $X$ in $G$, cioè l'insieme degli elementi di $G$ che commutano con ogni elemento di $X$.

In generale non c'è un modo semplice di calcolare tali centralizzanti. Dipende dalla situazione particolare. L'esempio che hai dato in $Sym(6)$ è uno dei tanti che devi risolvere o è l'unico che devi risolvere? Le questioni specifiche non sempre ammettono generalizzazioni.

Magari rispondi a queste domande, poi ripartiremo da qui.
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