Problema algebra 1: elementi invertibili Z6 e Z7

Messaggioda ChristianP » 26/01/2020, 10:56

Ciao a tutti,
in un esercizio di Algebra 1 mi viene chiesto di trovare quali sono gli elementi invertibili di $(\mathbb{Z}_6, \cdot)$ e $(\mathbb{Z}_7, \cdot)$. Potreste dirmi se la soluzione è corretta?

Mia soluzione

$\mathbb{Z}_6, $ = {0,1,2,3,4,5}. Avendo come operazione la moltiplicazione "$\cdot $", l'elemento neutro sarà 1.

0 non ha inverso
1 ha come inverso se stesso
2 non ha inverso
3 non ha inverso
4 non ha inverso
5 ha 5 come inverso, essendo $5 \cdot 5 = 25 \equiv 1$ mod 6


$\mathbb{Z}_7, $ = {0,1,2,3,4,5,6}.

0 non ha inverso
1 ha 1 come inverso
2 ha 4 come inverso essendo $2 \cdot 4 = 8 \equiv 1$ mod 7
3 ha 5 come inverso essendo $3 \cdot 5 = 15 \equiv 1$ mod 7
4 ha 2
5 ha 3
6 non ha inverso


E' giusto come ho fatto?

Grazie in anticipo a chi mi risponderà
ChristianP
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Re: Problema algebra 1: elementi invertibili Z6 e Z7

Messaggioda solaàl » 26/01/2020, 11:06

Più in generale, osserva che un elemento di \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) (identificato con \(a\in \{0,\dots,n-1\}\)) è invertibile se e solo se è coprimo con \(n\): da un lato, se \(a \in \{0,\dots,n-1\}\) è coprimo con \(n\), allora esistono due numeri interi \(p,q\) tali che \(pa+qn=1\) e quindi \(p\) è l'inverso mod n di a.
Dall'altro, se a è invertibile mod n, esiste un \(p\) tale che \(pa\equiv 1\) mod n, ossia esiste un q tale che \(pa+qn=1\), ossia...

Quanti sono, allora, i numeri coprimi con 6? Quanti sono i numeri coprimi con 7?
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Re: Problema algebra 1: elementi invertibili Z6 e Z7

Messaggioda ChristianP » 26/01/2020, 11:27

Intanto grazie della risposta :D

In Z6. l'unico coprimo con 6 è 5.

In Z7 anche 6 è coprimo di 7 ed infatti 6 possiede inverso: se stesso :smt023

Grazie ancora
ChristianP
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Re: Problema algebra 1: elementi invertibili Z6 e Z7

Messaggioda solaàl » 26/01/2020, 13:52

In Z6. l'unico coprimo con 6 è 5
Qualcosa non va :D
In Z7 anche 6 è coprimo di 7 ed infatti 6 possiede inverso: se stesso
Qualcosa non va, pure qui.
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Re: Problema algebra 1: elementi invertibili Z6 e Z7

Messaggioda gugo82 » 26/01/2020, 18:19

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
solaàl ha scritto:Quanti sono, allora, i numeri coprimi con 6? Quanti sono i numeri coprimi con 7?

Tutti quelli freddolosi, se 6 e 7 sono coperte… :lol:
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