Numeri complessi trascendenti

Messaggioda ProPatria » 27/01/2020, 05:58

Per "complessi" intendo che siano in $ CC\\ RR $.
Esistono? Potete farmi degli esempi? :D
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda solaàl » 27/01/2020, 07:20

Trascendenti dove, su Q? Se sì, è pieno, prendi per esempio $ia$, dove a è Q-trascendente...
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda ProPatria » 27/01/2020, 07:34

solaàl ha scritto:Trascendenti dove, su Q? Se sì, è pieno, prendi per esempio $ia$, dove a è Q-trascendente...

Intuitivamente torna, ma come potrei dimostrare che effettivamente $ ia $ è trascendente?
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda solaàl » 27/01/2020, 08:13

Beh, puoi dimostrarlo direttamente con la definizione di trascendente, per assurdo. Se \(i\pi\) è \(\mathbb Q\)-algebrico, tale è anche \(-i(i\pi)\) (i numeri algebrici sono un sottocampo, e \(i\) è algebrico: è uno degli zeri di \(X^2+1\in\mathbb Q[X]\)), ma questo è \(\pi\): assurdo, \(\pi\) è trascendente su \(\mathbb Q\).
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda ProPatria » 28/01/2020, 01:12

Grazie mille :-D
solaàl ha scritto:i numeri algebrici sono un sottocampo

questo mi sfuggiva. Dunque anche $a+ir$, con a trascendente e r razionale, è trascendente poiché $ir$ è radice di $X^2+r^2$, e allo stesso modo anche $k+ia$ con k algebrico, mentre ad esempio dimostrare la trascendenza di $ a+ib $, con a, b trascendenti, non è così semplice, è corretto?
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda solaàl » 28/01/2020, 07:10

Ogni volta che scrivi trascendenti da inteso "su Q", no?
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Re: Numeri complessi trascendenti

Messaggioda ProPatria » 29/01/2020, 01:08

solaàl ha scritto:Ogni volta che scrivi trascendenti da inteso "su Q", no?

Si, secondo il mio libro di algebra "trascendente" è equivalente a trascendente su Q
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