Numeri complessi trascendenti

Per "complessi" intendo che siano in $ CC\\ RR $.
Esistono? Potete farmi degli esempi?

Trascendenti dove, su Q? Se sì, è pieno, prendi per esempio $ia$, dove a è Q-trascendente...

Trascendenti dove, su Q? Se sì, è pieno, prendi per esempio $ia$, dove a è Q-trascendente...

Intuitivamente torna, ma come potrei dimostrare che effettivamente $ ia $ è trascendente?

Beh, puoi dimostrarlo direttamente con la definizione di trascendente, per assurdo. Se \(i\pi\) è \(\mathbb Q\)-algebrico, tale è anche \(-i(i\pi)\) (i numeri algebrici sono un sottocampo, e \(i\) è algebrico: è uno degli zeri di \(X^2+1\in\mathbb Q[X]\)), ma questo è \(\pi\): assurdo, \(\pi\) è trascendente su \(\mathbb Q\).

Grazie mille

i numeri algebrici sono un sottocampo

questo mi sfuggiva. Dunque anche $a+ir$, con a trascendente e r razionale, è trascendente poiché $ir$ è radice di $X^2+r^2$, e allo stesso modo anche $k+ia$ con k algebrico, mentre ad esempio dimostrare la trascendenza di $ a+ib $, con a, b trascendenti, non è così semplice, è corretto?

Ogni volta che scrivi trascendenti da inteso "su Q", no?

Ogni volta che scrivi trascendenti da inteso "su Q", no?

Si, secondo il mio libro di algebra "trascendente" è equivalente a trascendente su Q