Numero di coset dell'intersezione

Messaggioda Overflow94 » 29/01/2020, 23:56

Suppose $ H $ and $ K $ are subgroups of finite index in the (possibly infinite) group $ G $ with $ |G : H| = m $ and $ |G : K| = n $. Prove that $ lcm(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $ .


Per adesso sono arrivato a dimostrare $ max(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $, cerco un aiuto per finire l'esercizio. Di seguito riporto l'approccio che sto utilizzando.

Faccio un paio di puntualizzazioni:

1) Con $ g_([X]) $ indico il coset di $ X $ in $ G $ che ammette come rappresentante $ g $.
In simboli $ g_([X])={y|EEx in X: \ \ y=gx} $.
2) Faccio largo uso del risultato $ g_([X])=h_([X]) \ \ <=> \ \ h^-1g inX $ .
3) Faccio largo uso del risultato $ a in g_([X]) \ \ <=> \ \ a_([X])=g_([X]) $ .
3) Con $ G: X $ indico l'insieme dei coset di $ X $ in $ G $ .

Definiamo la funzione:

$ f_h: (G:Hnn K)->(G:H) $
$ f_h(g_([HnnK]))=g_([H]) $

Per dimostrare che $ f_h $ è ben definita dobbiamo dimostrare che non dipende dalla scelta del rappresentate del coset, ovvero che:

$ g_([HnnK])=t_([HnnK]) \ \ => \ \ f_h(g_([HnnK]))=f_h(t_([HnnK])) $

Si dimostra nel seguente modo:

$ g_([HnnK])=t_([HnnK]) => \ \ t^-1g in H nn K => \ \ t^-1g in H => \ \ g_([H])=t_([H]) $

Quindi $ f_h $ è ben definita, procedo dimostrando che è suriettiva.

Il generico elemento del codominio è $ g_([H]) $ , poiché $ (G:H nn K) $ è una partizione di $ G $ esiste un suo elemento che contiene $ g $, denotiamolo come $ a_([H nn K]) $, quindi:

$ g in a_([H nn K])=> a_([H nn K]) = g_([H nn K]) $
$ f_h(a_([H nn K])) = f_h(g_([H nn K]))=g_([H]) $

La suriettività di $ f_h $ dimostra $ |G:H nnK|>=|G:H|=n $. In modo analogo si definisce una funzione $ f_k $, e combinando i risultati si ottiene $ |G:H nnK|>=max(n,m) $ .

Definiamo:

$ f: (G:Hnn K)->(G:H)xx(G:K) $
$ f(g_([H nn K]))= (g_([H]), g_([K])) $

$ f $ è ben definita in quanto ha come componenti le funzioni ben definite $ f_h $ e $ f_k $.

Procedo dimostrando che $ f $ è iniettiva:

$ f(g_([H nn K]))=f(t_([H nn K])) =>(g_([H]), g_([K]))=(t_([H]), t_([K])) $
$ g_([H])=t_([H])=>g^-1t inH $ e $ g_([K])=t_([K])=>g^-1t in K $ quindi $ g^-1t in H nnK $

L'ultimo passaggio implica $ g_([H nn K])=t_([H nn K]) $ dimostrando l'iniettività di $ f $ . L'iniettività di $ f $ dimostra $ nm=|(G:H)xx(G:K)|>=|G:H nn K| $.

Manca da chiudere il lowerbound. Credo che si possa fare con un ragionamento combinatorio su come si overlappano i coset di $ H $ e $ K $ e considerando che in generale i coset hanno la stessa cardinalità.
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Re: Numero di coset dell'intersezione

Messaggioda Overflow94 » 30/01/2020, 23:33

Ok ci dovrei essere. Però prima di chiudera la dimostrazione volevo fare una precisazione visto che non ho ottenuto risposte: quando posto questi esercizi non chiedo necessariamente una dimostrazione completa, ma sarei contento di ricevere anche un hint buttato lì alla buona o anche un dettaglio a cui fare attenzione, insomma brainstorming.

La dimostrazione si basa sul fatto che l'indice $| G:HnnK |$ ha come divisori sia $ n $ che $ m $ e il numero più piccolo con questa proprietà è $ lcm(n, m) $.

Indichiamo con $ \mathcal{P} $ l'insieme dei coset di $ H nn K $ che partiziona $ G $, ovvero $ \mathcal{P}=(G:HnnK) $ . Dai risultati del post precedente sappiamo che $ |\mathcal{P}| = r< oo $.

Definiamo $ \mathcal{P_bar1}={X in \mathcal{P}|X nnH!=O/ } $. Siamo interessati a dimostrare che $ \mathcal{P_bar1} $ è una partizione di $ H $.

Poiché $ \mathcal{P_bar1} $ è composto da elementi di una partizione di $ G $ i suoi elementi sono insiemi disgiunti, manca da dimostrare che:

Definito $ \mathcal{H} = \bigcup_(X in \mathcal{P_bar1})X $ allora $ H = \mathcal{H} $ .

$ H sube \mathcal{H} $ per costruzione. Consideriamo il generico elemento $ a $ di $ \mathcal{H} $ , esso appartiene a un insieme insieme $ X $ che contiene anche un elemento $ h in H $. Poiché $ X $ è un coset di $ H nn K $ abbiamo $ a^-1hinHnnK=>a^-1hinH $ .Combinando questi risultati otteniamo $ a in H $ , quindi $ \mathcal{H} sube H $ , per doppia inclusione $
H = \mathcal{H} $.

Abbiamo dimostrato che $ \mathcal{P_bar1} $ è una partizione di $ H $.

Utilizzando questa partizione si dovrebbe poter costruire una partizione corrispondente per ogni altro coset di $ H $ dimostrando così che $ r $ è multiplo di $ n $, però mi sto intortando molto con la notazione quindi preferisco finire in un secondo momento dopo aver fatto un po' di ordine.
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Re: Numero di coset dell'intersezione

Messaggioda arnett » 31/01/2020, 01:39

Io la penserei così, per la stima dal basso. Tu hai provato che $|G:H\cap K|\le nm$, quindi è finito. Ma ogni volta che in un gruppo $G$ (non necessariamente finito!) ho sottogruppi $Q<P<G$ con $|G:Q|$ finito, allora $|G:Q|=|G:P||P:Q|$. E applicando questo con $Q=H \cap K$ e $P$ pari a $H$ o a $K$ trovi che $|G:H\cap K$ è diviso sia da $m$ che da $n$.
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Re: Numero di coset dell'intersezione

Messaggioda Overflow94 » 01/02/2020, 13:17

@arnett grazie della risposta. In un esercizio successivo lo stesso testo chiede di dimostrare quello che hai detto, credo si possa dimostrare con l'approccio che ho impostando nell'ultimo post.

Supponiamo $ K<=H<=G $ con $ |G:H|=n $ e $ |H:K|=m $ , allora $ |G:K|=nm $ .

Come prima cosa dimostriamo che la partizione data dai coset di $ K $ su $ H $ la ritroviamo nei coset dati da $ K $ su $ G $.

Sia $ \mathcal{P} $ l'insieme dei coset di $ K $ in $ G $. Consideriamo $ \mathcal{H}={X in \mathcal{P}|X nnH !=O/ } $ .

$ H sube \bigcup_(X in \mathcal{H})X $ per costruzione. Il generico elemento $ a $ di $ \bigcup_(X in \mathcal{H})X $ appartiene ad un coset $ X $ al quale appartiene anche un elemento $ h in H $, perciò $ h^-1ainK =>h^-1ainH=>ainH $ . Quindi $ \bigcup_(X in \mathcal{H})X sube H $ e per doppia inclusione $ H = \bigcup_(X in \mathcal{H})X$, perciò $ \mathcal{H} $ è una partizione di $ H $.

Gli elementi di $ \mathcal{H} $ sono i coset di $ K $ su $ H $. Infatti il generico coset di $ K $ su $ H $ si interseca almeno con uno degli insiemi di $ \mathcal{H} $, ma essendo entrambi coset di $ K $ se hanno almeno un elemento in comune allora coincidono del tutto, quindi $ | \mathcal{H}| = m $ (anche se definiti su "universi" diversi i loro elementi coincidono quindi questo discorso può essere formalizzato).

Da qui si possono definire $ g\mathcal{H}={gX|X in \mathcal{H}} $ e vedere che costiusce una partizione del coset $ gH $, tutti insieme i possibili $ g\mathcal{H} $ costituiscono una partizione di $ \mathcal{P} $ e perciò $ |G:K|=|\mathcal{P}|=n|\mathcal{H}|=nm $ .

Ho sorvolato molto sulla formalizzazione perché a questo punto è tediosa però ci tenevo a chiudere perché cimentarmi in questo esercizio ho notato che mi ha dato una maggior comprensione di come funzionano i coset e di come l'azione di un sottogruppo sul gruppo lo partiziona. Infatti sono andato molto più spedito a risolvere la successiva batteria di esercizi di questo tipo.
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Re: Numero di coset dell'intersezione

Messaggioda arnett » 01/02/2020, 13:48

Overflow94 ha scritto:Supponiamo $ K<=H<=G $ con $ |G:H|=n $ e $ |H:K|=m $, allora $ |G:K|=nm $


Non ho letto il resto, lo leggo dopo, ma io mi riferisco a un risultato diverso: parto sapendo già che $|G:K|$ è finito e provo la formula per cioè che sta sopra $K$, non sotto.
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