Suppose $ H $ and $ K $ are subgroups of finite index in the (possibly infinite) group $ G $ with $ |G : H| = m $ and $ |G : K| = n $. Prove that $ lcm(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $ .
Per adesso sono arrivato a dimostrare $ max(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $, cerco un aiuto per finire l'esercizio. Di seguito riporto l'approccio che sto utilizzando.
Faccio un paio di puntualizzazioni:
1) Con $ g_([X]) $ indico il coset di $ X $ in $ G $ che ammette come rappresentante $ g $.
In simboli $ g_([X])={y|EEx in X: \ \ y=gx} $.
2) Faccio largo uso del risultato $ g_([X])=h_([X]) \ \ <=> \ \ h^-1g inX $ .
3) Faccio largo uso del risultato $ a in g_([X]) \ \ <=> \ \ a_([X])=g_([X]) $ .
3) Con $ G: X $ indico l'insieme dei coset di $ X $ in $ G $ .
Definiamo la funzione:
$ f_h: (G:Hnn K)->(G:H) $
$ f_h(g_([HnnK]))=g_([H]) $
Per dimostrare che $ f_h $ è ben definita dobbiamo dimostrare che non dipende dalla scelta del rappresentate del coset, ovvero che:
$ g_([HnnK])=t_([HnnK]) \ \ => \ \ f_h(g_([HnnK]))=f_h(t_([HnnK])) $
Si dimostra nel seguente modo:
$ g_([HnnK])=t_([HnnK]) => \ \ t^-1g in H nn K => \ \ t^-1g in H => \ \ g_([H])=t_([H]) $
Quindi $ f_h $ è ben definita, procedo dimostrando che è suriettiva.
Il generico elemento del codominio è $ g_([H]) $ , poiché $ (G:H nn K) $ è una partizione di $ G $ esiste un suo elemento che contiene $ g $, denotiamolo come $ a_([H nn K]) $, quindi:
$ g in a_([H nn K])=> a_([H nn K]) = g_([H nn K]) $
$ f_h(a_([H nn K])) = f_h(g_([H nn K]))=g_([H]) $
La suriettività di $ f_h $ dimostra $ |G:H nnK|>=|G:H|=n $. In modo analogo si definisce una funzione $ f_k $, e combinando i risultati si ottiene $ |G:H nnK|>=max(n,m) $ .
Definiamo:
$ f: (G:Hnn K)->(G:H)xx(G:K) $
$ f(g_([H nn K]))= (g_([H]), g_([K])) $
$ f $ è ben definita in quanto ha come componenti le funzioni ben definite $ f_h $ e $ f_k $.
Procedo dimostrando che $ f $ è iniettiva:
$ f(g_([H nn K]))=f(t_([H nn K])) =>(g_([H]), g_([K]))=(t_([H]), t_([K])) $
$ g_([H])=t_([H])=>g^-1t inH $ e $ g_([K])=t_([K])=>g^-1t in K $ quindi $ g^-1t in H nnK $
L'ultimo passaggio implica $ g_([H nn K])=t_([H nn K]) $ dimostrando l'iniettività di $ f $ . L'iniettività di $ f $ dimostra $ nm=|(G:H)xx(G:K)|>=|G:H nn K| $.
Manca da chiudere il lowerbound. Credo che si possa fare con un ragionamento combinatorio su come si overlappano i coset di $ H $ e $ K $ e considerando che in generale i coset hanno la stessa cardinalità.