Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda Aleeeessio » 30/01/2020, 13:39

"Nel gruppo simmetrico S5 è assegnata la permutazione:
σ = (1 4)(3 5)(4 3 2 5).
Determinare l’ordine, la parità di σ e tutti i sottogruppi di $<σ>$. Definire almeno due isomorfismi dal gruppo ciclico $<σ>$ al gruppo $(Z_n,+)$, per un determinato $n > 1$."

Questo è il testo dell'esercizio, non ho problemi fino all'ultima richiesta, ovvero quella di "Definire almeno due isomorfismi...". L'unico isomorfismo che riesco a trovare è $f(σ^x)=x$ da $<σ>$ a $(Z_6,+)$, perchè σ ha ordine 6, non ne riesco a trovare altri, anche perchè, se non ho capito male, l'isomorfismo collega tra loro elementi dello stesso ordine, generatore con generatore e identità con identità. L'unico modo per soddisfare queste richieste mi sembra sia la funzione $f$ che ho definito qui sopra. Sapreste darmi una mano? Grazie in anticipo.
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda arnett » 30/01/2020, 13:44

Quanti e quali sono i generatori di $\ZZ_6$?

Se tu li trovi hai praticamente finito, perché a quel punto ti basta mandare $\sigma$ ogni volta in un generatore diverso.
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda Aleeeessio » 30/01/2020, 13:58

arnett ha scritto:Quanti e quali sono i generatori di $\ZZ_6$?

Se tu li trovi hai praticamente finito, perché a quel punto ti basta mandare $\sigma$ ogni volta in un generatore diverso.


Perdonami ma non ho capito, l'unico generatore di $(Z_6,+)$ non è $1$? Poichè $Z_6 = {0,1,2,3,4,5}$ e quindi $<1> = {0,1,2,3,4,5}$, cosa che non avviene con $<2>$,$<3>$,$<4>$,$<5>$. Inoltre mi confermi che quelle corrispondenze che ho elencato per l'isomorfismo sono vere e devono essere soddisfatte?
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda arnett » 30/01/2020, 14:14

Beh $5+5=10 \equiv_6 4$, $4+5=9 \equiv_6 3$, $3+5=8 \equiv_6 2$, $2+5=7 \equiv_6 1$, $1+5=6 \equiv_6 0$, quindi no, anche $[5]_6$ genera $\ZZ_6$. E non ce ne sono altri. I generatori di $\ZZ_n$, $n \ge 2$, sono tutti e soli gli $[x]_n$ con $x$ e $n$ coprimi, e sono quindi in numero di $\phi(n)$.

Per il resto sì, l'isomorfismo conserva gli ordini, manda generatori in generatori e identità in identità.
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda Aleeeessio » 30/01/2020, 14:38

arnett ha scritto:Beh $5+5=10 \equiv_6 4$, $4+5=9 \equiv_6 3$, $3+5=8 \equiv_6 2$, $2+5=7 \equiv_6 1$, $1+5=6 \equiv_6 0$, quindi no, anche $[5]_6$ genera $\ZZ_6$. E non ce ne sono altri. I generatori di $\ZZ_n$, $n \ge 2$, sono tutti e soli gli $[x]_n$ con $x$ e $n$ coprimi, e sono quindi in numero di $\phi(n)$.

Per il resto sì, l'isomorfismo conserva gli ordini, manda generatori in generatori e identità in identità.


Perfetto ho capito, quindi posso definire un secondo isomorfismo $g(sigma)$ da $<sigma>$ a $(Z_6,+)$ punto a punto (senza formula generica) in questo modo:
$g(sigma)=5$ , $g(ID)=0$ , $g(sigma^2)=2$ , $g(sigma^3)=3$ , $g(sigma^4)=4$ , $g(sigma^5)=1$

Eventualmente un terzo isomorfismo (il testo ne chiede almeno due) potrebbe essere $h(sigma)$ definito da:
$h(sigma)=5$ , $h(ID)=0$ , $h(sigma^2)=4$ , $h(sigma^3)=3$ , $h(sigma^4)=2$ , $h(sigma^5)=1$

E' corretto?
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda arnett » 30/01/2020, 15:01

No, un qualsiasi morfismo di gruppi ciclici è univocamente individuato dal generatore. Se tu decidi che $g(\sigma)=[5]_6$, non devi e non puoi decidere altro. Infatti, affinché questa mappa sia un morfismo di gruppi capiterà di sicuro che $g(\sigma^2)=g(\sigma)^2=2\cdot[5]_6=[4]_6$ (solita storia che le potenze diventano multipli in $\ZZ_6$) e così via.
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda Aleeeessio » 30/01/2020, 15:08

Capisco perfettamente, grazie!
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda Alin » 20/02/2020, 09:26

Scusate se mi intrometto nella discussione.
Premesso che un qualsiasi morfismo di gruppi ciclici è univocamente individuato dal generatore,
quindi in questo caso gli isomorfismi sono $2$?
$ g(σ)=[5]_6$ e $ g(σ)=[1]_6$
Pertanto se scelgo  
$ g(σ)=[5]_6$ solo in questo caso avró $ g(σ^2)=g(σ)^2=2⋅[5]_6=[4]_6$
Se scelgo invece
$ g(σ)=[1]_6$
allora $(σ^2)=g(σ)^2=2⋅[1]_6=[2]_6$
Il mio dubbio é: trovato il morfismo i valori sono assegnati dal morfismo stesso.
Dico bene? Grazie
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Re: Esercizio gruppo ciclico

Messaggioda arnett » 20/02/2020, 17:32

Alin ha scritto:Il mio dubbio é: trovato il morfismo i valori sono assegnati dal morfismo stesso.


Questa domanda è tautologica. Quello che credo tu voglia dire è: trovato $f(\sigma)$, cioè il valore di $f$ sull'unico generatore di $\langle \sigma \rangle$, $f$ risulta completamente determinato. La risposta è sì.

E inoltre gli isomorfismi sono in effetti due, come ho detto, per il fatto che che $\phi(6)=2$.
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