Provare una relazione d'ordine

Messaggioda Pasquale 90 » 01/02/2020, 20:19

Buonasera, se considero l'insieme $A={1,2,3,4,5,6}$ dove è definita la seguente relazione
$a R b <=> a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b$

Devo verificare che è una relazione d'ordine.Quindi

riflessività $forall a in A $ si ha $a Ra to a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b $ essendo che $a=a$ implica che $R$ è riflessiva.

asimmetria $forall a,b in A $ tale che $a R b $ e $bRa$ implica $a=b$, dal fatto che:
$(a Rb $ si ha $a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b )$ e $(b Ra $ si ha $b=a \ qquad "o" \ qquad 2b le a)$

Ne segue che
$(2a le b le 2b le a )$ e $(2b le a le 2a le b )$ allora $b le a $ e $a le b$ allora $a=b$
implica $R$ asimmetrica.

transitività $forall a,b,c in A $ tale che $a R b $ e $bRc$ implica $aRbc$, dal fatto che:
$(a Rb $ si ha $a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b )$ e $(b Rc $ si ha $b=c \ qquad "o" \ qquad 2b le c)$

Ne segue che
$2a le b le 2b le c to 2a le c$
implica che $R$ è transitiva.

Ciao
Pasquale 90
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Re: Provare una relazione d'ordine

Messaggioda vict85 » 01/02/2020, 21:52

Sì e no. La dimostrazione della transitività va bene, le altre due sembrano un po' macchinose e danno l'impressione che tu non abbia una completa padronanza del problema.

Per quanto riguarda la riflessività, la implicazione che avresti dovuto usare è questa \(a = b \Rightarrow aRb\) e non quella opposta.

Per quanto riguarda la asimmetria, non è verificata nelle relazioni di ordine e non è definita come la hai definita tu. Quello che intendevi era dimostrare che la relazione era antisimmetrica. Insomma attento ai nomi delle cose.

La dimostrazione mi pare leggermente caotica. Ora, supponi che tu abbia \(aRb\) e \(bRa\). Per come è definita la relazione e per la proprietà riflessiva, \(a = b\) è una ipotesi valida, devi quindi escludere gli altri casi. Puoi escludere che si abbia \(a < b\) perché \(bRa \wedge a\neq b\) implica che \(b < 2b \le a\). Similmente escludi \(b > a\). Quello che scrivi tu invece non ha molto senso perché \(a < 2a\) e \(b < 2b\) per ogni elemento dell'insieme, quindi \(2a \le b < 2b \le a\) e \(2b \le a < 2a \le b\) sono due assurdi e non implicano affatto quello che dici tu.
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Re: Provare una relazione d'ordine

Messaggioda Pasquale 90 » 01/02/2020, 22:26

vict85 ha scritto:Sì e no. La dimostrazione della transitività va bene, le altre due sembrano un po' macchinose e danno l'impressione che tu non abbia una completa padronanza del problema.
Sono d'accordo :(

vict85 ha scritto: Per quanto riguarda la riflessività, la implicazione che avresti dovuto usare è questa \( a = b \Rightarrow aRb \) e non quella opposta.
si errore mio, voglio dire: sia $a in A$ si ha $aRa <=> a=a $ o $2a le a$ essendo $a=a$ allora $R$ è riflessiva, volevo dire questo mi sono confuso.

vict85 ha scritto:Per quanto riguarda la asimmetria, non è verificata nelle relazioni di ordine e non è definita come la hai definita tu. Quello che intendevi era dimostrare che la relazione era antisimmetrica. Insomma attento ai nomi delle cose.

La dimostrazione mi pare leggermente caotica. Ora, supponi che tu abbia \( aRb \) e \( bRa \). Per come è definita la relazione e per la proprietà riflessiva, \( a = b \) è una ipotesi valida, devi quindi escludere gli altri casi. Puoi escludere che si abbia \( a < b \) perché \( bRa \wedge a\neq b \) implica che \( b < 2b \le a \). Similmente escludi \( b > a \). Quello che scrivi tu invece non ha molto senso perché \( a < 2a \) e \( b < 2b \) per ogni elemento dell'insieme, quindi \( 2a \le b < 2b \le a \) e \( 2b \le a < 2a \le b \) sono due assurdi e non implicano affatto quello che dici tu.


prima di continuare cosa che dovevo precisare fin da subito, che per relazione asimmetrica voglio dire ($xRy$ e $yRx$ implica $x=y$)
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Re: Provare una relazione d'ordine

Messaggioda vict85 » 01/02/2020, 23:52

Quella si chiama antisimmetria e non asimmetria
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