Il polinomio \( X^n \)

Ciao. Definisco un polinomio a coefficienti in un anello unitario \( R \) nell'indeterminata \( X \) come una \( M \)-upla a coefficienti in \( R \), a supporto finito, dove \( M \) è il monoide libero su \( \{X\} \) (l'insieme di tutte le parole nell'alfabeto \( \{X\} \) - le tuple \( (X,X,\dots,X) \)). Definisco il prodotto di due polinomi \( A\colon X^k\mapsto a_k \) e \( B\colon X^k\mapsto b_k \) come il polinomio \( AB\colon X^k\mapsto\sum_{i + j = k}a_ib_j \); questo ragazzo è ancora una \( M \)-upla a supporto finito. Infine, denoto con \( X \) il polinomio \( X^k\mapsto\delta_{1k} \), in modo abbastanza naturale.

Con solo questo per le mani, voglio provare che \( X^n \) è esattamente il polinomio \( X^k\mapsto\delta_{nk} \).

Ho pensato di procedere per induzione, ma è un casino (almeno credo). In pratica succede questo. Assunta la tesi per un \( n>0 \), occorre far vedere che \( X^nX\colon X^k\mapsto\sum_{i + j = k}\delta_{ni}\delta_{1j} \) ha per coefficienti esattamente i \( \delta_{n+1\,k} \), per \( k\in\mathbb N \). Tenendo conto che quella somma non è altro che la somma \( \sum_{\mu = 0}^k\delta_{n\mu}\delta_{1\,\mu-k} \), devo far vedere che è \( \sum_{\mu = 0}^k\delta_{n\mu}\delta_{1\,\mu-k} = \delta_{n+1\, k} \). Ritenterei per induzione, ma

Qual è l'altra strada?

edit. Ho sistemato un typo nella definizione di polinomio.

Ultima modifica di marco2132k il 05/02/2020, 16:13, modificato 2 volte in totale.

\( \sum_{\mu = 0}^k\delta_{n\mu}\delta_{1\,\mu-k} = \delta_{n+1\, k} \).

A parte il $mu-k$ che dovrebbe essere $k-mu$, quest'uguaglianza a me sembra ovvia invece. Qual è il problema? La somma a sinistra è diversa da zero se e solo se esiste $mu$ con $n=mu$ e $1=k-mu$, cioè $k=n+1$, e in questo caso la somma a sinistra vale esattamente $1$.

Hai ragione @Martino. Grazie!