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Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \)
1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \);
2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano)
3. provare che la funzione \( \omega\colon\psi_*\left\{gH\right\}_{g\in G}\times H\to G \) che mappa \( (t,h)\mapsto th \) è biiettiva.

So che in un gruppo finito valgono delle proprietà particolari (e ovvie, come il fatto che l'inverso di un elemento è una sua potenza positiva); però non me le sono ricordate al momento giusto. Ci ragiono su queste o preferite darmi un hint?

hint esercizio 1: $ gH=vH <=> g^-1v in H $
esercizio 3: non capisco come è definita la funzione ( $ t $ è un coset, $ h $ un elemento di $ H $ cosa significa il loro prodotto?)

Intanto grazie! Ora ci penso.

@Overflow Se \( f \) è una funzione \( S\to T \), con \( f_* \) denoto la funzione \( \mathscr P(S)\to\mathscr P(T) \) che mappa un insieme con la sua immagine tramite \( f \). Quindi \( \psi_*\left\{gH\right\}_{g\in G} \) significa, per i mortali, \( \psi\left(\{gH:h\in H\}\right) \).

@arnett Non abbiamo mai definito i trasversali (anche se ricordo di aver dimostrato il teorema di Lagnrage per cardinalità non finite proprio considerando i trasversali). Avrei dovuto notarlo...

@Overflow94 Avevo pensato di applicare \( \phi \) a \( g^{-1}(\phi\circ\psi)(g) \), ma mi sono bloccato perché non so se \( \phi \) rispetti la moltiplicazione. Questo sarebbe sicuramente vero se \( H \) fosse normale o se \( G \) fosse abeliano. È vero anche se \( G \) è finito? In tal caso, dal tuo suggerimento si ha subito la tesi.

Credo di riuscire a fare il terzo, a questo punto: la funzione \( \omega \) è suriettiva, perché 1) dato \( g\in G \) è anche \( g = \omega(g,1) \) perché \( g\in\psi({gH:g\in G}) \) ( ); 2) se \( (t_1,h_1)\neq (t_2,h_2) \) in \( \left\{gH\right\}_{g\in G}\times H \), è anche \( t_1h_1\neq t_2h_2 \), perché se i \( t_i \) sono differenti rappresentano necessariamente cosets differenti, quindi ammettere \( t_1h_1 = t_2h_2 \) sarebbe assurdo: avremmo \( t_2^{-1}t_1\in H \). \( \square \)

Sono qui, scusa il ritardo. È tutto chiaro. grazie!

In effetti avevo pensato che la suriettività di \( \psi \) si potesse ricavare dal fatto che \( G \) ha cardinalità finita.