Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 11/02/2020, 19:09

Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene.

Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione)
$\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $
$\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva)
$\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$
Possiamo quindi distinguere due casi:
$x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$
$x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$
In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$
Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Sergio » 12/02/2020, 15:20

Credo si possa essere più rapidi.
Per la proprietà distributiva, \((A \cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\).
\((A\cap C)\cup(B\cap C)\subseteq A\cup(B\cap C)\) perché \((A\cap C)\subseteq A\).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 13/02/2020, 09:54

Grazie Sergio!
Ragionando sulla tua osservazione
$A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$
ma anche
$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$ (Proprietá distributiva)
per cui
$ (A ∩ B) sube (A ∪ B) $
$(A ∩ C) sube (A ∪ C) $
Pertanto
$ A nn (B uu C) sube A uu(A nn C) $
Il mio dubbio é:
$A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$
$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$
non c'é bisogno di dimostrare le due uguaglianza? Questo puó essere dato
per scontato?
Grazie
Pippoww
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Sergio » 13/02/2020, 21:46

Pippoww ha scritto:Il mio dubbio é:
$A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$
$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$
non c'é bisogno di dimostrare le due uguaglianza? Questo puó essere dato
per scontato?

Quante volte hai dovuto dimostrate che $a(b+c)=ab+ac$?
Scherzi a parte, se fosse una domanda d'esame le darei per scontate (allo scritto), ma mi terrei pronto a dimostrarle (all'orale) :wink:
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Re: Dimostrazione sugli insiemi

Messaggioda Pippoww » 14/02/2020, 22:31

Ok! Direi che ci siamo.
Vado avanti con le mie dimostrazioni:
Se $ B sub A$, dimostra che per qualsiasi insieme $C$, $B uuC sub A uu C $ e
$BnnC sub AnnC$
Sia $ x in B uu C rArr AA x( x in B vv x in C)$
$ x in B rarr x in A$ (Premessa $ B sub A$)
$ x !in B rarr x in C$
Pertanto $x in BuuC rArr x in AuuC$ e quindi $B uuC sub A uu C $
L'altra parte si dimostra allo stesso modo:
Sia $ x in B nnC rArr AA x( x in B ^^ x in C)$
$ x in B rarr x in A$ (Premessa $ B sub A$)
$ x !in B rarr x in C$
Pertanto $x in B nnC rArr x in A nn C$ e quindi $B nn C sub A nn C $
Cosa ne pensate! Grazie
Pippoww
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