Dimostrazione sugli insiemi
Inviato: 11/02/2020, 19:09
Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene.
Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione)
$\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $
$\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva)
$\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$
Possiamo quindi distinguere due casi:
$x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$
$x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$
In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$
Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$
Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione)
$\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $
$\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva)
$\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$
Possiamo quindi distinguere due casi:
$x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$
$x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$
In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$
Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$