Formalmente c'è un dettaglio da correggere: il campo di spezzamento nel caso di grado $2$ non è $QQ(sqrt(Delta))$, è $K(sqrt(Delta))$ dove $K=QQ(b,c)$ e si intende che $b$ e $c$ sono variabili algebricamente indipendenti (altrimenti non è detto che il gruppo di Galois sia $S_2$).
Allo stesso modo per il grado $3$, diciamo che $f(X)=X^3+bX^2+cX+d$ e $K=QQ(b,c,d)$ dove $b,c,d$ sono variabili algebricamente indipendenti su $QQ$. Se $G$ è il suo gruppo di Galois su $K$ allora $G$ è isomorfo a $S_3$. Il gruppo $S_3$ contiene $3$ sottogruppi di ordine $2$ e un sottogruppo di ordine $3$. I tre sottogruppi di ordine $2$ corrispondono (tramite le corrispondenze di Galois) ai sottocampi $K(r_1)$, $K(r_2)$, $K(r_3)$ dove $r_1,r_2,r_3$ sono le radici di $f(X)$, mentre il sottogruppo di $G$ di ordine $3$ (che è isomorfo al gruppo alterno $A_3$) corrisponde al sottocampo $K(sqrt(Delta))$ dove $Delta$ è il discriminante del polinomio $f(X)$ (per la definizione di discriminante vedi
qui).
Più in generale per polinomi di grado $n$ qualsiasi detto $G$ il gruppo di Galois visto come sottogruppo di $S_n$, l'intersezione $G nn A_n$ (dove $A_n$ è il gruppo alterno) corrisponde sempre a $K(sqrt(Delta))$ dove $Delta$ è il discriminante.