Scomposizione Di un polinomio in R,C,Z

Messaggioda SwirlyManager75 » 14/02/2020, 08:13

Salve a tutti, ho appena finito di fare un'esame e volevo un chiarimento sul seguente quesito.
dato il seguente polinomio: $ x^4-8x^3+25x^2-36x+20 $ Calcolare le radici razionali; La sua fattorizzazione in R,C e Z(5)

Ora premetto di essere andato moolto a logica, ho pensato "bhe è di quarto grado, quindi sarà dato da una moltiplicazione di due polinomi di secondo grado", ho provato con $(x-2)^2(x-2)^2 $ e ho notato che mi sono avvicinato molto,quindi ho semplicemente aggiunto 1 a $(x^2-4x+4)$, quindi la fattorizzazione finale è $ (x-2)^2(x^2-4x+5) $ e mi chiedevo se ci fosse un modo più "meccanico" per arrivare a fattorizzazioni del genere, per trovare le scomposizione in C non ho avuto problemi, radici razionali non ne ha, il mio altro dubbio è come scomporre i polinomi in Z(n) non riesco proprio a capire , so che basterebbe rendere positivi i numeri negativi in modulo n ma essenzialmente quando si tratta di Z e polinomi senza numeri negativi non so proprio come fare...
ad esempio come si fattorizzerebbe $ 2x^3+x^2+2x+3 $ in Z(3) e Z(5)?
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Re: Scomposizione Di un polinomio in R,C,Z

Messaggioda solaàl » 16/02/2020, 23:43

SwirlyManager75 ha scritto:"bhe è di quarto grado, quindi sarà dato da una moltiplicazione di due polinomi di secondo grado"
...o dalla moltiplicazione di un termine di terzo grado e di uno lineare; o da quattro termini lineari. Non è molto chiaro cosa significhi questa deduzione.

mi chiedevo se ci fosse un modo più "meccanico" per arrivare a fattorizzazioni del genere
Un metodo generale non esiste; quello che puoi fare è notare che 2 è una radice; è di molteplicità 2. Dividere un polinomio per un altro poi è facile, perché $K[X]$ è un dominio euclideo. A questo punto, quando hai scritto il polinomio iniziale come $p(X)=(X-2)^2q(X)$ devi solo studiare la riducibilità di $q(X)$ su $CC, RR, ZZ_5$.

so che basterebbe rendere positivi i numeri negativi in modulo n ma essenzialmente quando si tratta di Z e polinomi senza numeri negativi non so proprio come fare...
Inizia attribuendo un significato a questa frase (per ora non ce l'ha). :smt023
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