Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda feded123 » 16/02/2020, 18:36

Immagine
Salve a tutti,
Ho questo esercizio da fare ma sono piuttosto confuso (vedi foto).

Non mi spaventa perché a vederlo così finché si tratta di fare dei calcoli (anche se pesanti )non ho problemi.
Ciò che mi spiazza è che non so di cosa si parli...Per me le permutazioni avevano a che fare con la statistica, non con questo...
Lasciando stare la teoria, potete dirmi che cosa devo fare ? Che operazioni svolgere? Anche senza che facciate i conti, tipo : fai il prodotto tra matrici, risolvi rispetto a x...
Mi bastano i passaggi, poi il resto lo faccio io.
Grazie :D
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda marco2132k » 16/02/2020, 19:50

Quelle "matrici" sono solo un modo comodo per rappresentare una permutazione di sei elementi: ad esempio, la
\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\] mappa \( 1\mapsto 6 \), \( 2\mapsto 5 \), fino a \( 6\mapsto 1 \). Nota che è inversa di se stessa, perché, ad esempio, \( \sigma\sigma(4) = \sigma 3 = 4 \) e \( \sigma\sigma(6) = \sigma 1 = 6 \), ecc. (di solito \( {\circ} \) si omette, proprio come si fa per \( {\cdot} \) tra numeri).

Le permutazioni si comportano quasi "come i numeri interi rispetto alla somma", solo che qui la somma è la composizione di funzioni, e non è commutativa (fatti un esempio!); e si chiama informalmente "prodotto". Voglio dire che, ad esempio, puoi fare il "prodotto" di due permutazioni \( \sigma \) e \( \tau \), e il risultato è una permutazione \( \sigma\tau = \sigma\circ\tau \) che mappa \( x\mapsto\sigma(\tau(x)) \) (comporre ti dà un'altra permutazione perché la composta due funzioni invertibili è ancora invertibile). Quindi \( \sigma^4 \) è \( \sigma\sigma\sigma\sigma = \sigma\circ\sigma\circ\sigma\circ\sigma \).
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda feded123 » 16/02/2020, 22:08

Ok perfetto.
Da quello che hai scritto (se non ho capito male ) per scrivere l'inversa di quella roba lì basta che prendo la "matrice" iniziale, sostituisco ai numeri di "partenza" i numeri che li mappano e a quelli di "arrivo" i numeri mappati.
Tipo prendendo la matrice h \( 1\mapsto 2 \) e \( 4\mapsto 1 \) l'inversa di questo è \( 4\mapsto 1 \)
Applico questa procedura a tutti i numeri e ottengo l'inversa?

Per quanto riguarda i quadrati, cubi...Se volessi il quadrato di una intera permutazione "matrice" basta che banalmente elevo al quadrato tutti i numeri dentro? Non credo sia così però boh non mi viene altro...

Mentre per la composizione di una funzione devo vedere la permutazione di partenza e quella di arrivo? Nel senso se tipo il primo elemento della matrice (f) è \( 1\mapsto 6 \) e nella seconda matrice (h) 6 mappa 5 \( 6\mapsto 5 \) io dovrò scrivere nella matrice "composizione" che \( 1\mapsto 5 \).

Penso di aver capito tutto mentre ho dei forti dubbi per l'elevazione a potenza delle permutazioni. :(
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda marco2132k » 17/02/2020, 16:52

Ho trovato questo c:
me stesso ha scritto:Voglio dire che, ad esempio, puoi fare il "prodotto" di due permutazioni \( \sigma \) e \( \tau \), e il risultato è una permutazione \( \sigma\tau = \sigma\circ\tau \) che mappa \( x\mapsto\sigma(\tau(x)) \) (comporre ti dà un'altra permutazione perché la composta due funzioni invertibili è ancora invertibile). Quindi \( \sigma^4 \) è \( \sigma\sigma\sigma\sigma = \sigma\circ\sigma\circ\sigma\circ\sigma \).
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda vict85 » 17/02/2020, 17:47

Moderatore: vict85

La mia impressione è che tu stai cercando di fare un esame di algebra senza aver aperto il libro, semplicemente perché hai visto un po' di permutazioni nell'esame di statistica. Gli esercizietti sulle permutazioni che si fanno generalmente negli esami di statistica non hanno nulla a che fare con la teoria del gruppo delle permutazioni. Quindi vai e leggiti il libro o la dispensa del corso in questione.


Un piccolo assaggio di quello che troverai sul libro:
  1. una permutazione è definita come una biezione tra insiemi;
  2. quella notazione non è altro che la rappresentazione tabulare della funzione (insomma non è una matrice);
  3. il prodotto di funzioni è la normalissima composizione di funzioni;
  4. L'elevamento a potenza è la composizione della funzione con sé stessa;
  5. e l'inversa è la funzione inversa;
La teoria fatta nel corso di statistica non ti serve a nulla per questo corso.

Per capirci \(f\) è la funzione definita come:
\(f: 1 \mapsto 6\)
\(f: 2 \mapsto 5\)
\(f: 3 \mapsto 2\)
\(f: 4 \mapsto 3\)
\(f: 5 \mapsto 4\)
\(f: 6 \mapsto 1\)
e la sua inversa (f^{-1}\) è la funzione definita come:
\(f: 1 \mapsto 6\)
\(f: 2 \mapsto 3\)
\(f: 3 \mapsto 4\)
\(f: 4 \mapsto 5\)
\(f: 5 \mapsto 2\)
\(f: 6 \mapsto 1\)
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda feded123 » 18/02/2020, 12:56

Guardate, io studierei volentieri ma le slides del professore su tutto il programma sono oscene e incomplete (è giovanissimo deve organizzarsi). Ho cercato su internet (forse cerco male boh) ma le ricerche che ho fatto mi hanno sempre restituito risultati inerenti alla statistica, ero spiazzato e per questo ho chiesto a voi.

Ora, infatti, la funzione inversa mi è chiara e ringrazio molto per l'aiuto sia Marco2132k che vict85.

Se poteste farmi un esempio pratico veloce veloce con i numeri anche sull'elevazione a potenza io eliminerei tutti i miei dubbi su questo argomento e scriverei "risolto" nel titolo, non arrabbiatevi con me io studio ma questo prof è qualcosa che non vi auguro :(
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Re: Siano f g h le seguenti permutazioni di S

Messaggioda vict85 » 18/02/2020, 14:34

Qual'è il corso/programma? Darti le risposte ai problemi non è una soluzione a lungo termine.

Comunque ecco un esempio
\(\sigma = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 3\ 1\ 2\ 5\ 4 \end{pmatrix} = (132)(45)\)
\(\sigma^2 = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 2\ 3\ 1\ 4\ 5 \end{pmatrix} = (123)\)
\(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 1\ 2\ 3\ 5\ 4 \end{pmatrix} = (45)\)
\(\sigma^4 = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 3\ 1\ 2\ 4\ 5 \end{pmatrix} = (132)\)
\(\sigma^5 = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 2\ 3\ 1\ 5\ 4 \end{pmatrix} = (123)(45)\)
\(\sigma^6 = \begin{pmatrix} 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \end{pmatrix} = \mathrm{id}\)
Ho scritto anche in notazione a cicli disgiunti che, per i calcoli, risulta essere molto più comoda.
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