Parte stabile generata

Messaggioda Pasquale 90 » 25/02/2020, 16:22

Salve, sul libro mi viene fatto un esempio di parte stabile generata da un sigleton, mi spiego meglio:
"Sia $m in ZZ$ e $m ne 0$. Rispetto all'ordinaria addizione in $ZZ$ la parte stabile generata da ${m}$ è il sottoinsieme ${mn \|\ n in NN}$."
Mi verrebbe da dire è ovvio, ma se devo dimostrarlo ho qualche difficolta, comunque vi riporto quello che sono riuscito a fare, quindi chiamo la parte stabile generata da ${m}$ con $X$ per definizione
$X=bigcap_(Y in Sigma_{m})Y$ dove $Sigma_{m}={Y\|\ {m} subseteq Y}$

Essendo $Y$ una parte stabile di $Z$ contente il ${m}$ allora $forall \ a in Y to m+a in Y$, in particolare $m+m=2m in Y$ questo si ripete per ogni $Y in Sigma_m.$
Ora l'intersezione dei vari $Y in Sigma_m$ mi dovrebbe dare ${mn \|\ n in NN}$, qui mi blocco.

Cordiali saluti.
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Re: Parte stabile generata

Messaggioda solaàl » 25/02/2020, 16:35

La definizione di sottostruttura, in algebra universale, è questa: se $S$ è un sottoinsieme della struttura $A$ di tipo $\tau$, la sottostruttura \(\langle S\rangle \le A\) generata da $S$ è l'intersezione di tutte le sottotrutture di $A$, che contengono $S$; quello che devi dimostrare è che in questo caso particolare, \(\langle S\rangle\) coincide con la suddetta intersezione; per dimostrare che \(U=V\), è buona norma dimostrare che \(\subseteq\), e poi che \(\supseteq\).
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Re: Parte stabile generata

Messaggioda Pasquale 90 » 25/02/2020, 17:20

solaàl leggendo la teoria ho letto che
Siano $**$ una legge interna in $S$ e $X subseteq S$. Si ha $V subseteq S$ coincide con la parte stabile generata $X'$ da $X$ se e solo se :
1) $V$ stabile,
2) $V$ include $X$,
3) $V$ è contenuta in ogni parte stabile includente $X.$
Quindi correggemi se sbaglio, pongo $V={mn \|\ n in NN}$, devo verificare la 1) , 2) e la 3).

1) Allora $V$ è stabile se e solo $mn_1+mn_2 in V $ per ogni $mn_1,mn_2 in V$.
Siano $mn_1,mn_2 in V$ si ha $mn_1+mn_2=m(n_1+n_2) in V$, risulta $V$ stabile.

2) $V supseteq {m}$ basta prendere $n=1$, quindi $V$ include ${m}.$

3) Dobbiamo vedere che $V subseteq Y$ dove $Y$ è una parte stabile di $ZZ$ includente ${m}$ allora in generale
$a+b in Y \ to \ forall a,b in Y$

essendo $m in Y$
$m+m=2m in Y \ to \ 2m+m=3m \ to \---\ to m(n-1)+m=mn in Y $

Abbiamo provato che $mn in V \ to \ mn in Y $. Ne segue che sono soddisfatti i punti 1), 2) e 3).
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Re: Parte stabile generata

Messaggioda solaàl » 25/02/2020, 17:24

Pasquale 90 ha scritto:$V subseteq S$ coincide con la parte stabile generata $X'$ da $X$ se e solo se :
1) $V$ stabile,
2) $V$ include $X$,
3) $V$ è contenuta in ogni parte stabile includente $X.$
E' proprio quel che ho detto io, sì.
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Re: Parte stabile generata

Messaggioda Pasquale 90 » 27/02/2020, 10:11

ciao solaàl, ma se volessi determinarla parte stabile generata da un insieme cioè,
considere $S$ insieme e $X={A,B}$ sottoinsieme di $P(S)$ per determinare $X'$ devo fare in modo che $X'$ soddisfi, correggimi se sbaglio
Pasquale 90 ha scritto:$ V subseteq S $ coincide con la parte stabile generata $ X' $ da $ X $ se e solo se :
1) $ V $ stabile,
2) $ V $ include $ X $,
3) $ V $ è contenuta in ogni parte stabile includente $ X. $


(Scusami se non metto la parentesi graffa di chiusura, ma per rendere i passaggi più verosimili)
Per la seconda dobbiamo avere
$X'={A,B$
Per la prima dobbiamo avere
$X'{A,B, AcupB$
Per la terza dobbiamo avere
$X'={A,B, AcupB}$

ciao
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