Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda Overflow94 » 27/02/2020, 11:27

In "Abstract algebra" di Dummit a pag. 82 si danno due definizioni di sottogruppo normale e si dicono essere equivalenti ma senza dimostrazione:

1) $ gNg^-1=N \ \ \ \ AA gin G $
2) $ gNg^-1subN \ \ \ \ AA gin G $

La (1) implica banalmente la (2).

$ h->ghg^-1 $ è un isomorfismo di $ N $ in $gNg^-1$ quindi nel caso in cui $ N $ sia finito si ha $ gNg^-1subN => gNg^-1=N $. Quindi la (2) implica la (1). Però se $ N $ è infinito lo stesso argomento non vale in quanto potrebbe anche essere isomorfe a un suo sottogruppo proprio.

Come proseguire?
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Re: Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda arnett » 27/02/2020, 12:19

Se per tutti i $g$ deve capitare che $gNg^-1\subset N$, succede anche che per tutti i $g$ risulta $N\subset g^{-1}Ng$. Se vale per tutti i $g$, vale pure per $g^{-1}$.
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Re: Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda Overflow94 » 27/02/2020, 12:44

Non riesco a capire il passaggio $ gNg^-1\subset N =>N \subset g^-1Ng$ .
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Re: Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda vict85 » 27/02/2020, 13:32

Overflow94 ha scritto:Non riesco a capire il passaggio $ gNg^-1\subset N =>N \subset g^-1Ng$ .


Usando tutti i passaggi espliciti

\begin{align*}
gNg^{-1} &\subseteq N \\
g^{-1}gNg^{-1}g &\subseteq g^{-1}Ng \\
eNe &\subseteq g^{-1}Ng \\
N &\subseteq g^{-1}Ng \\
\end{align*}

dove con \(e\) ho indicato l'identità del gruppo.
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Re: Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda arnett » 27/02/2020, 14:13

Se preferisci vederlo sugli elementi: l'inclusione $gNg^{-1}\subset N$ vuol dire che quando hai un prodotto della forma $gng^{-1}$ per qualche $n\in N$ puoi sempre scriverlo come $gng^{-1}=\tilde n$ per qualche $\tilde n \in N$. Ora dato $n\in N$ tu vuoi scriverlo come $g^{-1}\hat n g$ per qualche $\hat n\in N$. Ma sai già che $gng^{-1}$ è un certo $\tilde n$. Allora prendi semplicemente $\hat n=\tilde n$.
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Re: Definizione di sottogruppo normale

Messaggioda Overflow94 » 27/02/2020, 14:41

Grazie mille adesso è tutto chiaro!
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