Definizione di sottogruppo normale

[Overflow94]

In "Abstract algebra" di Dummit a pag. 82 si danno due definizioni di sottogruppo normale e si dicono essere equivalenti ma senza dimostrazione:

1) $ gNg^-1=N \ \ \ \ AA gin G $
2) $ gNg^-1subN \ \ \ \ AA gin G $

La (1) implica banalmente la (2).

$ h->ghg^-1 $ è un isomorfismo di $ N $ in $gNg^-1$ quindi nel caso in cui $ N $ sia finito si ha $ gNg^-1subN => gNg^-1=N $. Quindi la (2) implica la (1). Però se $ N $ è infinito lo stesso argomento non vale in quanto potrebbe anche essere isomorfe a un suo sottogruppo proprio.

Come proseguire?

[Overflow94]

Non riesco a capire il passaggio $ gNg^-1\subset N =>N \subset g^-1Ng$ .

[vict85]

Non riesco a capire il passaggio $ gNg^-1\subset N =>N \subset g^-1Ng$ .

Usando tutti i passaggi espliciti

\begin{align*}
gNg^{-1} &\subseteq N \\
g^{-1}gNg^{-1}g &\subseteq g^{-1}Ng \\
eNe &\subseteq g^{-1}Ng \\
N &\subseteq g^{-1}Ng \\
\end{align*}

dove con \(e\) ho indicato l'identità del gruppo.

[Overflow94]

Grazie mille adesso è tutto chiaro!