In "Abstract algebra" di Dummit a pag. 82 si danno due definizioni di sottogruppo normale e si dicono essere equivalenti ma senza dimostrazione:
1) $ gNg^-1=N \ \ \ \ AA gin G $
2) $ gNg^-1subN \ \ \ \ AA gin G $
La (1) implica banalmente la (2).
$ h->ghg^-1 $ è un isomorfismo di $ N $ in $gNg^-1$ quindi nel caso in cui $ N $ sia finito si ha $ gNg^-1subN => gNg^-1=N $. Quindi la (2) implica la (1). Però se $ N $ è infinito lo stesso argomento non vale in quanto potrebbe anche essere isomorfe a un suo sottogruppo proprio.
Come proseguire?