Determinazione di omomorfismi.

[3m0o]

Mi si chiede di trovare tutti gli omomorfismi d'anelli \( f: A \to B \) e nei seguenti quattro casi non ho capito alcune cose. Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi il motivo?

1) \( A= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e \( B= \mathbb{Z} \).
Soluzioni:
Non esistono omomorfismi d'anelli poiché \( n \cdot 1 = 0 \).
Dubbio:
Non capisco il motivo onestamente, se esiste \(f \) allora \( f(1)=1 \) e \( f(0) = 0 \) e in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0 = n \) pertanto \( f(0)=f(n \cdot 1)= f(n) \cdot f(1) = 0 \cdot 1 = 0 \) che è consistente con il fatto che \( n \cdot 1 = 0 \). Non capisco come quell'argomentazione mi implichi che non esistono omomorfismi tra quei due anelli.

2) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{R} \).
Soluzioni:
Costatiamo che il quadrato è inviato sui numeri positivi infatti \( f(x^2)=f(x)^2 \), quindi se \(a>b \) allora \( a-b \) essendo un quadrato abbiamo \( 0 < f(a-b) = f(a)-f(b) \)
Per conseguenza \( f \) deve preservare l'ordine. E siccome l'unico omomorfismo di anelli \(g: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) è l'inclusione, poiché \( b g(a/b)=g(b)g(a/b)=g(a)=a \) abbiamo che i razionali sono fissati e dunque per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che \(f \) è l'identità.

Dubbio:
Non capisco come la densità di \( \mathbb{Q} \) nei reali mi fa concludere che \(f \) è l'identità.
In secondo luogo cosa mi assicura che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è un omomorfismo di annelli e quindi avere che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è l'inclusione?

3) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{Q} \).
Mi dice che non esistono omomorfismi d'anelli perché \( f(\sqrt{2})^2=f(2)=2 \)
Ma proprio non capisco perché questo argomento mi mostra che non esistono omomorfismi.

4) \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \).
Mi dice che per la proprietà universale di un anello di polinomi ci sono tanti omomorfismi d'anelli tra \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \) quanti elementi possiede \( \mathbb{R} \).

Dubbio:
Ma a corso abbiamo visto che se \(A \) è un anello commutativo, cosa che è \( \mathbb{R}[t] \) e \(f:A\to B\) è un omomorfismo di anelli e sia \(b \in \mathbb{B} \) allora esiste un unico omomorfismo d'annelli \( \tilde{f} : A[t] \to B \) tale che \( \tilde{f} \circ i = f \) e \( \tilde{f}(t)=b \)

Quindi io direi che esistono tanti omomorfismi tra \(\mathbb{R}[t] \) e \(\mathbb{R} \) quanti quelli tra \( \mathbb{R} \) e \( \mathbb{R} \) e tanti quanti quelli tra \(\mathbb{R} \) e \(\mathbb{R}[t] \).

[solaàl]

1. Se $G$ è ciclico di ordine $n$ e $H$ è senza torsione, non esiste nessun omomorfismo non costantemente nullo $f :G \to H$. Se esiste un tale omomorfismo, esso è determinato dall'immagine del generatore $g$ di $G$, dal momento che $f(g^k)=f(g)^k$ in $H$. Allora, siccome $f(0)=f(g^n)=f(g)^n$, $f(g)$ è di torsione in $H$; del resto, $H$ non ne ha.

Adatta questo argomento al tuo caso.


2. Un omomorfismo di anelli monotono è continuo per la topologia euclidea su $RR$; siccome $QQ$ è denso in $RR$ per quella topologia, e due funzioni su un T2 che coincidono su un denso coincidono ovunque, $f$ deve essere l'identità.


3. Un omomorfismo di anelli il cui dominio è un campo è iniettivo o zero (perché \(\ker f\) può essere solo zero o tutto); del resto, $RR$ è non numerabile, $QQ$ è numerabile...

4. La proprietà universale di $RR[t]$ dice che l'insieme \(\hom_{Ring}(\mathbb R[t],B)\) e l'insieme \(\hom_{Set}(\{t\}, B)\) sono in biiezione naturale; del resto il secondo è l'insieme degli elementi di $B$.

[3m0o]

1. Se $G$ è ciclico di ordine $n$ e $H$ è senza torsione, non esiste nessun omomorfismo non costantemente nullo $f :G \to H$. Se esiste un tale omomorfismo, esso è determinato dall'immagine del generatore $g$ di $G$, dal momento che $f(g^k)=f(g)^k$ in $H$. Allora, siccome $f(0)=f(g^n)=f(g)^n$, $f(g)$ è di torsione in $H$; del resto, $H$ non ne ha.

Adatta questo argomento al tuo caso.

Quindi essendo \(1 \) generatore di \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dovremmo avere che \( f(0)= f(n \cdot 1_{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}})=n \cdot f(1_{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}})=\sum_{k=1}^{n} 1_{ \mathbb{Z}} = n \) ma siccome dev'essere omomorfismo di anelli dovremmo avere \( f(0) = 0 \)

3. Un omomorfismo di anelli il cui dominio è un campo è iniettivo (perché \(\ker f\) può essere solo zero o tutto); del resto, $RR$ è non numerabile, $QQ$ è numerabile...

Come fa ad essere iniettivo se il \( \ker f \) è tutto \( \mathbb{R} \) ?
Ad ogni modo non capisco come questa cosa la collego a \( f(\sqrt{2})^2=2 \) e come questo implica che \(f \) non è omomorfismo.

[solaàl]

Come fa ad essere iniettivo se il \( \ker f \) è tutto \( \mathbb{R} \) ?

Infatti è zero, avevo scritto "è iniettivo o nullo" ma si deve essere perso.

Ad ogni modo non capisco come questa cosa la collego a \( f(\sqrt{2})^2=2 \) e come questo implica che \(f \) non è omomorfismo.

Cosa fa $f$ su $QQ$?

[3m0o]

Ti direi che su \( \mathbb{Q} \) dev'essere l'identità ed essendo iniettiva non c'è più "spazio" nel codominio per mappare gli \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).

Però mi è poco chiaro quanto segue:
1) Perché \( f \) è iniettiva.

Seguirebbe comunque che
\( f(\sqrt{2})^2 = 2 \) implica che \( f(\sqrt{2}) \not\in \mathbb{Q} \) quindi non è mappabile. E abbiamo \( f(2)=2 \) perché \(f(2 \cdot 1_{\mathbb{R}})=2 \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = 2 \cdot 1_{\mathbb{Q}} = 2 \)
In generale è l'identità su \( \mathbb{Q} \) poiché per ogni \( q \in \mathbb{Q} \) risulta \(f(q \cdot 1_{\mathbb{R}})=q \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = q \cdot 1_{\mathbb{Q}} = q \)

[solaàl]

Eh sì, se $f$ è un omomorfismo non può essere iniettivo. Ma allora è la mappa zero. E uno che non è zero, deve essere iniettivo. Ma non può esserlo per ragioni di cardinalità.

[3m0o]

Eh sì, se $f$ è un omomorfismo non può essere iniettivo. Ma allora è la mappa zero. E uno che non è zero, deve essere iniettivo. Ma non può esserlo per ragioni di cardinalità.

Mi sono spiegato male.
Non mi è chiaro il motivo per cui \( f \) è iniettivo oppure è la mappa zero.
Preso per vero questo fatto ho capito perché non esistono omomorfismi di anelli tra i reali e i razionali, ma mi sfugge il motivo per cui non posso avere una mappa diversa da zero e non iniettiva.

[solaàl]

Beh, è ovvio: pensaci (se te lo dico io, te lo dimentichi presto; se te ne accorgi da solo, te lo ricordi per sempre)