Mi si chiede di trovare tutti gli omomorfismi d'anelli \( f: A \to B \) e nei seguenti quattro casi non ho capito alcune cose. Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi il motivo?
1) \( A= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e \( B= \mathbb{Z} \).
Soluzioni:
Non esistono omomorfismi d'anelli poiché \( n \cdot 1 = 0 \).
Dubbio:
Non capisco il motivo onestamente, se esiste \(f \) allora \( f(1)=1 \) e \( f(0) = 0 \) e in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0 = n \) pertanto \( f(0)=f(n \cdot 1)= f(n) \cdot f(1) = 0 \cdot 1 = 0 \) che è consistente con il fatto che \( n \cdot 1 = 0 \). Non capisco come quell'argomentazione mi implichi che non esistono omomorfismi tra quei due anelli.
2) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{R} \).
Soluzioni:
Costatiamo che il quadrato è inviato sui numeri positivi infatti \( f(x^2)=f(x)^2 \), quindi se \(a>b \) allora \( a-b \) essendo un quadrato abbiamo \( 0 < f(a-b) = f(a)-f(b) \)
Per conseguenza \( f \) deve preservare l'ordine. E siccome l'unico omomorfismo di anelli \(g: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) è l'inclusione, poiché \( b g(a/b)=g(b)g(a/b)=g(a)=a \) abbiamo che i razionali sono fissati e dunque per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che \(f \) è l'identità.
Dubbio:
Non capisco come la densità di \( \mathbb{Q} \) nei reali mi fa concludere che \(f \) è l'identità.
In secondo luogo cosa mi assicura che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è un omomorfismo di annelli e quindi avere che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è l'inclusione?
3) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{Q} \).
Mi dice che non esistono omomorfismi d'anelli perché \( f(\sqrt{2})^2=f(2)=2 \)
Ma proprio non capisco perché questo argomento mi mostra che non esistono omomorfismi.
4) \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \).
Mi dice che per la proprietà universale di un anello di polinomi ci sono tanti omomorfismi d'anelli tra \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \) quanti elementi possiede \( \mathbb{R} \).
Dubbio:
Ma a corso abbiamo visto che se \(A \) è un anello commutativo, cosa che è \( \mathbb{R}[t] \) e \(f:A\to B\) è un omomorfismo di anelli e sia \(b \in \mathbb{B} \) allora esiste un unico omomorfismo d'annelli \( \tilde{f} : A[t] \to B \) tale che \( \tilde{f} \circ i = f \) e \( \tilde{f}(t)=b \)
Quindi io direi che esistono tanti omomorfismi tra \(\mathbb{R}[t] \) e \(\mathbb{R} \) quanti quelli tra \( \mathbb{R} \) e \( \mathbb{R} \) e tanti quanti quelli tra \(\mathbb{R} \) e \(\mathbb{R}[t] \).