Sottoanelli di $ZZ[w]$

[Overflow94]

Consideriamo quello che il libro di testo che sto seguendo chiama "the ring of integers in the quadratic field" $ ZZ(w) $ con $w$:

$ w={ ( (1+ sqrt(D)) /2 \ \ \ \ \ se \ D-=1(mod4) ),( sqrt(D) \ \ \ \ \ al trimenti ):} $

Sia $ f in NN $ un intero positivo, consideriamo il sottoanello $ ZZ(fw) $.

1) Dimostrare che l'indice di $ ZZ(fw) $ in $ ZZ(w) $ visti come gruppi con l'addizione è uguale a $f$, in simboli $ [ZZ(w) : ZZ(fw)]=f $ .

2) Dimostrare viceversa che $ ZZ(fw) $ è l'unico sottoanello di $ ZZ(w) $ che contiene l'identità e che se visto come gruppo con l'addizione ha indice $ f $.

Ok l'uno l'ho dimostrato, consideriamo $alpha in ZZ(w)$ e $beta in ZZ(fw)$:

$ alpha + beta = (a + bw) + (c + dfw)=(a+c) + (b + df)w $

La prima componente $ (a+c) $ non impone restrizioni, mentre dalla seconda $ (b + df) $ si vede che un elemento $ alpha $ può "raggiungere" solo elementi che hanno la seconda componente congrua modulo $ f $ con lui e viceversa si vede facilmente che ogni elemento del genere è raggiungibile. Quindi il numero di orbite è uguale al numero di possibili classi di resto $ f $.

Come si dimostra il (2)? Ho dei problemi ad impostare la dimostrazione.

[Martino]

Ciao, dimostra (è facilissimo) che se un sottogruppo additivo $A$ di $ZZ[w]$ ha indice $f$ allora $fw in A$. Questo cosa implica, nel caso in cui $A$ sia anche sottoanello unitario?

Come impostare la dimostrazione? Così: "Sia $A$ un sottoanello unitario di $ZZ[w]$ il cui indice in $ZZ[w]$ come sottogruppo additivo è uguale a $f$. Mostreremo che $A=ZZ[fw]$. ..."

[Overflow94]

Il modo che mi viene in mente è il seguente: poiché $ 1 in A $ si ha che $ZZ sub A$, inoltre $A$ deve contenere almeno un elemento del tipo $nw$ perché se non lo contiene varrebbe $A=ZZ$ che ha un indice infinito. Se $nw in A$ allora $ZZ[nw] sub A $.

In particolare se $n$ è il minimo valore positivo per cui $nw in A $ allora ogni $mw in A$ è un suo multiplo e $A=ZZ[nw]$: se così non fosse scrivendo $m=qn + r$, avremmo $rw in A$ giungendo in contraddizione. E per avere indice $ f $ dobbiamo avere $n=f$.