Sottoanello delle espressioni razionali intere di un campo

[burton-kun]

Salve ragazzi, avrei un dubbio in merito ad un argomento, che proprio non riesco a risolvere.
Sia A campo e B sottocampo di A. Sia c appartenente ad A.

Si definisce B[c] come il sottoanello generato da B U {c}.
Allo stesso modo si definisce B(c) come il sottocampo generato da B U {c}.
Il primo è il sottoanello delle espressioni razionali intere di un campo. Il secondo: il sottocampo delle espressioni razionali fratte.

Risulta poi provato che se c è algebrico su B, allora B[c] = B(c).
Cercavo di capire cosa accadesse effettivamente all'interno di B[c] quando c è algebrico. Soprattutto considerando che, senza l'ipotesi di c algebrico su B, B[c] è strettamente contenuto in B(c).

Ora: B[c] di partenza è un anello, quindi, sostanzialmente, mancano i simmetrici. Non penso che l'ipotesi di c algebrico su B sia abbastanza forte da far guadagnare a B[c] gli elementi che mancano, affinché quelli che già ci sono diventino simmetrizzabili. Quindi ho pensato che allora deve perdere elementi.

Sono giunto alla conclusione che quegli elementi che in B[c] non sono simmetrizzabili, corrispondono, in B[x], a polinomi che ammettono c come radice e quindi si annullano in B[c].

Inoltre, affinché risultasse che con c algebrico, B[c] = B(c), accadesse che quando perdo elementi in B[c] (perdere significa annullare) allora li perdo anche in B(c). Siccome B(c) è generato da B[c], in B(c) non solo perdo quello che perdo in B[c] ma anche quello che ne verrebbe generato e quindi si giungerebbe all'uguaglianza, dall'inclusione stretta.

Questo ragionamento collega buona parte dei puntini in quello che sto studiando, ma ho avuto difficoltà nel dimostrarlo. Avrei voluto provare che, nelle ipotesi poste all'inizio della conversazione, con c algebrico su B, valesse:

f(c) non è invertibile => f(c) = 0

Purtroppo non ho avuto molto successo. Qualcuno sa dirmi se il ragionamento fatto è corretto e saprebbe indicarmi una strada per arrivare alla dimostrazione?

Ringrazio tutti in anticipo per l'attenzione e mi scuso per il post un po' prolisso e qualora avessi scritto banalità.

[Martino]

In 3 parole: algoritmo di Euclide.

Se $c in A$ è algebrico su $B$ sia $P(x)$ il polinomio minimo di $c$ su $B$.

Se $f(x) in B[x]$ e $f(c) ne 0$ allora $P(x)$ non divide $f(x)$ (ovvio) quindi siccome $P(x)$ è irriducibile su $B$ otteniamo che $f(x)$ e $P(x)$ sono coprimi.

Per l'algoritmo di Euclide esistono $a(x),b(x) in B[x]$ tali che

$a(x)f(x)+b(x)P(x)=1$
(Identità di Bezout)

Se sostituisci $x=c$ cosa succede?

[burton-kun]

a(c)f(c) = 1 e quindi f(c) simmetrizzabile. Bella davvero! Grazie mille!

Per quanto riguarda il ragionamento fatto nel post precedente, é corretto? É quello che succede in B[c] quando c é algebrico?

[Martino]

Ora: B[c] di partenza è un anello, quindi, sostanzialmente, mancano i simmetrici.

Sì, nel senso che potrebbero esistere elementi che non ammettono inverso moltiplicativo, anzi se $c$ non è algebrico esistono di sicuro, per esempio se $c$ non è algebrico allora $c$ stesso non ammette inverso in $B[c]$, perché $1//c$ non appartiene a $B[c]$ se $c$ non è algebrico (invece $1//c$ appartiene a $B[c]$ se $c$ è algebrico: perché? prova a pensarci, è facile).

Non penso che l'ipotesi di c algebrico su B sia abbastanza forte da far guadagnare a B[c] gli elementi che mancano, affinché quelli che già ci sono diventino simmetrizzabili. Quindi ho pensato che allora deve perdere elementi.

Questa è un'assunzione sbagliata. L'ipotesi di $c$ algebrico su $B$ è abbastanza forte da far guadagnare a $B[c]$ gli inversi dei suoi elementi non nulli, nel senso che stanno già in $B[c]$ (la parola "guadagnare" è inappropriata), per esempio

se $c^3+c+1=0$
allora dividendo per $c$ otteniamo
$1//c = -c^2-1$,
come vedi appartiene a $B[c]$.

Poi non capisco cosa intendi con "deve perdere elementi".

Sono giunto alla conclusione che quegli elementi che in B[c] non sono simmetrizzabili, corrispondono, in B[x], a polinomi che ammettono c come radice e quindi si annullano in B[c].

E' un modo complicato di dire che l'unico elemento non simmetrizzabile (cioè che non ammette inverso moltiplicativo) è lo zero. Questo è vero se $c$ è algebrico, è falso se $c$ non è algebrico.

Inoltre, affinché risultasse che con c algebrico, B[c] = B(c), accadesse che quando perdo elementi in B[c] (perdere significa annullare) allora li perdo anche in B(c). Siccome B(c) è generato da B[c], in B(c) non solo perdo quello che perdo in B[c] ma anche quello che ne verrebbe generato e quindi si giungerebbe all'uguaglianza, dall'inclusione stretta.

Questa frase non la capisco proprio, ti consiglio di sforzarti di formalizzare per bene quello che vuoi dire, non importa se ci si mette di più, altrimenti non riusciamo a capirci.

Avrei voluto provare che, nelle ipotesi poste all'inizio della conversazione, con c algebrico su B, valesse:

f(c) non è invertibile => f(c) = 0

Sì, questa implicazione è vera e te l'ho dimostrata nel post precedente.

[burton-kun]

(invece 1/c appartiene a B[c] se c è algebrico: perché? prova a pensarci, è facile)

Penso sia dovuto al fatto che da un'espressione razionale nulla posso sempre ricavare il simmetrico.

Per esempio:
\(c^3 + c^2 +c - 1 = 0 \Rightarrow c(c^2 + c + 1) = 1 \)
\(c^2+c+1 \in B[c] \Rightarrow c^{-1} = c^2+c+1\) in \(B[c]\)
Il ragionamento è molto semplicistico ma dovrebbe funzionare anche in casi più generici di questo.

L'ipotesi di c algebrico su B è abbastanza forte da far guadagnare a B[c] gli inversi dei suoi elementi non nulli, nel senso che stanno già in B[c] (la parola "guadagnare" è inappropriata), per esempio...

Mi rendo conto di essermi espresso davvero male. Provo a riformulare il concetto.
Consideriamo \(A\) campo, \(B\) sottocampo di \(A\) e \(c \in A\).
Mettiamoci nell'anello commutativo unitario \(B[c]\), prima ancora di considerare l'ipotesi che \(c\) è algebrico su \(B\).

Ci sono degli elementi in \(B[c]\) che non sono invertibili, altrimenti \(B[c]\) sarebbe un campo. Cercavo di capire cosa accadesse a questi elementi di \(B[c]\) quando si aggiungeva l'ipotesi di \(c\) algebrico.

Pensavo solo che se ci sono elementi non simmetrizzabili in un anello, si può considerare l'idea di "rimuoverli" per avere un campo o di aggiungerne di nuovi, i simmetrici che mancano, per lo stesso risultato.
Questo è, a grandi linee, il ragionamento che ho fatto.

In effetti, da questo punto di vista, l'ipotesi di \(c\) algebrico su \(B\) non mi sembra poi così forte da portarmi a pensare che \(B[c]\) acquisisca nuovi elementi. Quindi evidentemente deve succedere che quegli elementi che non sono simmetrizzabili, prima dell'ipotesi di \(c\) algebrico su \(B\), sono effettivamente quegli elementi che si annullano, dopo l'ipotesi di \(c\) algebrico su \(B[c]\).

Mi rendo conto che come ragionamento è un po' assurdo, perché bisogna distinguere uno stato in cui prima \(c\) non è algebrico e poi lo diventa. In effetti è solo un ragionamento che ho fatto per cercare di capire quanto più a fondo possibile la struttura.

E' un modo complicato di dire che l'unico elemento non simmetrizzabile (cioè che non ammette inverso moltiplicativo) è lo zero. Questo è vero se c è algebrico, è falso se c non è algebrico.

In effetti si! Se si assume che \(B[c]\) è un campo, lo è. Quello che cercavo di fare era solo provare che in effetti preso \(a \in B[c]\), risultasse che: \(a \notin U(B[c])) \Rightarrow a = 0\).
Cercavo di provare che quegli elementi non invertibili in \(B[c]\) anello, si annullassero in \(B[c]\) campo, con \(c\) algebrico su \(B\). Nella mia testa aveva molto più senso ieri sera.

Inoltre, affinché risultasse che con c algebrico, B[c] = B(c), accadesse che quando perdo elementi in B[c] (perdere significa annullare) allora li perdo anche in B(c). Siccome \(B(c)\) è generato da B[c], in B(c) non solo perdo quello che perdo in B[c] ma anche quello che ne verrebbe generato e quindi si giungerebbe all'uguaglianza, dall'inclusione stretta.

In questo caso cercavo di far quadrare i conti anche per quanto riguarda l'inclusione stretta di \(B[c]\) in \(B(c)\) quando c non è algebrico. Se \(B[c]\) diventa un campo perdendo elementi, allora deve necessariamente succedere che anche \(B(c)\) perda elementi, altrimenti non si giungerebbe all'uguaglianza. Anzi, dato che gli elementi di \(B(c)\) sono generati dagli elementi di \(B[c]\), per ogni elemento che si annulla in \(B[c]\), si annullano tutti quelli da esso generati in \(B(c)\). Quindi alla fine si arriva a \(B[c] = B(c)\) quando \(c\) è algebrico su \(B\).

Questo ragionamento mi ha aiutato a collegare tante cose tra loro, come ad esempio il fatto che:
\(\frac{B[x]}{I_c} \cong B[c]\)
In effetti l'indeterminata \(x\) si può vedere come un elemento trascendente. Quindi se \(c\) è trascendente, non algebrico su \(B\), non mi meraviglierebbe se \(B[x] \cong B[c]\).
Se \(c\) è algebrico su \(B\), invece, \(B[x]\) è effettivamente un insieme con più elementi, quindi bisogna rimuovere quelli in più o raggrupparli e contare i gruppi formati. Ed è effettivamente quello che facciamo quando quozientiamo rispetto all'ideale \(I_c\).

E in effetti pensandoci, se \(c\) è trascendente, risulta proprio che \(I_c = \{0\}\) e quindi:
\(\frac{B[x]}{I_c} = \frac{B[x]}{\{0\}} \cong B[x] \cong B[c]\)

Spero di essere stato quanto più chiaro possibile e mi scuso in caso contrario. Fammi sapere se il ragionamento ti sembra corretto o comunque vicino a quello che effettivamente succede in \(B[c]\).